第一章动态规划（十二）
数位DP
例题：1081.度的数量
求 [a, b] 之间的个数 res，先求出 [0, a) 之间满足条件的个数 x1，再求出 [0, b]之间满足条件的个数 x2，则 res = x2 - x1
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
class Main{
static int N = 35;
static int[][] f = new int[N][N];
static int K;
static int B;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
init();
int l = sc.nextInt();
int r = sc.nextInt();
K = sc.nextInt();
B = sc.nextInt();
System.out.println(dp(r) - dp(l - 1));
}
private static int dp(int n) {//返回从0到n中满足条件的数的个数
if (n == 0) return 0;
ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (n > 0) {
nums.add(n % B);
n /= B;
}
int res = 0;
int last = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
int x = nums.get(i);
if (x > 0) {//求左边分支的数的个数
res += f[i][K - last];
if (x > 1) {
if (K - last - 1 >= 0) res += f[i][K - last - 1];
break;
}else {
last++;
if (last > K) {
break;
}
}
}
if (i == 0 && last == K) res++;//最右侧分支上的方案
}
return res;
}
private static void init() {
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (j == 0) {
f[i][j] = 1;
}else {
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
}
}
}
}
}
例题：数字游戏
【题目描述】
科协里最近很流行数字游戏。某人命名了一种不降数，这种数字必须满足从左到右各位数字成小于等于的关系，如 123，446。现在大家决定玩一个游戏，指定一个整数闭区间 [a,b]，问这个区间内有多少个不降数。
【输入】
有多组测试数据。每组只含两个数字 a,b，意义如题目描述。
【输出】
每行给出一个测试数据的答案，即 [a,b] 之间有多少不降数。
【输入样例】
1 9
1 19
【输出样例】
9
18
【提示】
数据范围与提示：
对于全部数据，1≤a≤b≤231−1。
——————————————————————————————————————————————————
求 [a, b] 之间的个数 res，先求出 [0, a) 之间满足条件的个数 x1，再求出 [0, b]之间满足条件的个数 x2，则 res = x2 - x1
步骤：
先求 0–N中不降数的个数
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
class Main{
static int N = 15;
static int[][] f = new int[N][N];//f[i][j]表示一共有i位，且最高位填j的数的个数
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
init();
while (sc.hasNext()) {//这样读取程序没法结束
int l = sc.nextInt();
int r = sc.nextInt();
System.out.println(dp(r) - dp(l - 1));
}
}
private static int dp(int n) {//返回从0到n中满足条件的数的个数
if (n == 0) return 1;
ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (n > 0) {
nums.add(n % 10);
n /= 10;
}
int res = 0;
int last = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
int x = nums.get(i);
for (int j = last; j < x; j++) {
res += f[i + 1][j];
}
if (x < last) break;
last = x;
if (i == 0) res++;
}
return res;
}
private static void init() {
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
f[1][i] = 1;
}
for (int i = 2; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= 9; j++) {
for (int k = j; k <= 9; k++) {
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
}
}
例题：Windy 数
【题目描述】
原题来自：SCOI 2009
Windy 定义了一种 Windy 数：不含前导零且相邻两个数字之差至少为 2的正整数被称为 Windy 数。
Windy 想知道，在 A和 B 之间，包括 A 和 B，总共有多少个 Windy 数？
【输入】
一行两个数，分别为A,B。
【输出】
输出一个整数，表示答案。
【输入样例】
1 10
【输出样例】
9
【提示】
样例输入 2
25 50
样例输出 2
20
数据范围与提示：
20% 的数据，满足 1≤A≤B≤106；
100% 的数据，满足 1≤A≤B≤2×109。
————————————————————————————————————————————————————
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
class Main{
static int N = 11;
static int[][] f = new int[N][10];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
init();
int l = sc.nextInt();
int r = sc.nextInt();
System.out.println(dp(r) - dp(l - 1));
}
private static int dp(int n) {
if (n == 0) return 0;
ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (n > 0) {
nums.add(n % 10);
n /= 10;
}
int res = 0;
int last = -2;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
int x = nums.get(i);
//如果i是最高位，j就从1枚举
for (int j = (i == nums.size() - 1 ? 1 : 0); j < x; j++) {
if (Math.abs(j - last) >= 2) {
res += f[i + 1][j];
}
}
if (Math.abs(x - last) >= 2) {
last = x;
}else {
break;
}
if (i == 0) res++;
}
//特殊处理有前导零的数
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= 9; j++) {
res += f[i][j];
}
}
return res;
}
private static void init() {
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
f[1][i] = 1;
}
for (int i = 2; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= 9; j++) {
for (int k = 0; k <= 9; k++) {
if (Math.abs(j - k) >= 2) {
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
}
}
}
例题：数字游戏II
【题目描述】
由于科协里最近真的很流行数字游戏，某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 mod N为 0。现在大家又要玩游戏了，指定一个整数闭区间 [a,b]，问这个区间内有多少个取模数。
【输入】
题目有多组测试数据。每组只含三个数字 a,b,N。
【输出】
对于每个测试数据输出一行，表示各位数字和 mod N为 0的数的个数。
【输入样例】
1 19 9
【输出样例】
2
【提示】
数据范围与提示：
对于全部数据，1≤a,b≤231−1,1≤N<100。
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import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
class Main{
static int N = 11;
static int M = 110;
static int P;
static int[][][] f = new int[N][10][M];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
int l = sc.nextInt();
int r = sc.nextInt();
P = sc.nextInt();
init();
System.out.println(dp(r) - dp(l - 1));
}
}
private static int dp(int n) {
if (n == 0) return 1;
ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (n > 0) {
nums.add(n % 10);
n /= 10;
}
int res = 0;
int last = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
int x = nums.get(i);
for (int j = 0; j < x; j++) {
res += f[i + 1][j][mod(-last, P)];
}
last += x;
if (i == 0 && last % P == 0) res++;
}
return res;
}
private static void init() {
for (int i = 0; i < f.length; i++) {
for (int j = 0; j < f[i].length; j++) {
for (int k = 0; k < f[i][j].length; k++) {
f[i][j][k] = 0;
}
}
}
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
f[1][i][i % P]++;
}
for (int i = 2; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= 9; j++) {
for (int k = 0; k < P; k++) {
for (int x = 0; x <= 9; x++) {
f[i][j][k] += f[i - 1][x][mod(k - j, P)];
}
}
}
}
}
private static int mod(int x, int y) {
return (x % y + y) % y;
}
}
例题：不要 62
【题目描述】
原题来自：HDU 2089
杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为 62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有 4或 62 的号码。例如：62315,73418,8891462315,73418,88914 都属于不吉利号码。但是，61152 虽然含有 6 和 2，但不是 62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今后又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。
【输入】
输入的都是整数对 n,m，如果遇到都是 0的整数对，则输入结束。
【输出】
对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。
【输入样例】
1 100
0 0
【输出样例】
80
【提示】
数据范围与提示：
对于全部数据，0
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import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
class Main{
static int N = 9;
static int[][] f = new int[N][10];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
init();
while (true) {
int l = sc.nextInt();
int r = sc.nextInt();
if (l == 0 && r == 0) break;
System.out.println(dp(r) - dp(l - 1));
}
}
private static int dp(int n) {
if (n == 0) return 1;
ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (n > 0) {
nums.add(n % 10);
n /= 10;
}
int res = 0;
int last = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--) {
int x = nums.get(i);
for (int j = 0; j < x; j++) {
if (j == 4 || last == 6 && j == 2) continue;
res += f[i + 1][j];
}
if (x == 4 || last == 6 && x == 2) break;
last = x;
if (i == 0) res++;
}
return res;
}
private static void init() {
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
if (i != 4) f[1][i] = 1;
}
for (int i = 2; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= 9; j++) {
if (j == 4) continue;
for (int k = 0; k <= 9; k++) {
if (k == 4 || j == 6 && k == 2) {
continue;
}
f[i][j] += f[i - 1][k];
}
}
}
}
}
例题：恨 7 不成妻
【题目描述】
单身！
依然单身！
吉哥依然单身！
DS 级码农吉哥依然单身！
所以，他平生最恨情人节，不管是 214还是 77，他都讨厌！
吉哥观察了 214和 77这两个数，发现：
2+1+4=7
7+7=7×2
77=7×11
最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和 77有关！所以，他现在甚至讨厌一切和 7有关的数！
什么样的数和 7有关呢？如果一个整数符合下面三个条件之一，那么我们就说这个整数和 7有关：
整数中某一位是 7；
整数的每一位加起来的和是 7的整数倍；
这个整数是 7的整数倍。
现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和 7无关的数字的平方和。
【输入】
输入数据的第一行是测试数据组数 T，然后接下来的 T 行表示 T组测试数据。
每组数据在一行内包含两个正整数 L,R。
【输出】
对于每组数据，请计算 [L,R] 中和 7 无关的数字的平方和，并将结果对 109+7取模后输出。
【输入样例】
3
1 9
10 11
17 17
【输出样例】
236
221
0
【提示】
数据范围与提示：
对于全部数据，1≤T≤50,1≤L≤R≤1018。
——————————————————————————————————————————————————————
难度不小。。
代码有错。。
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
class Main{
static int N = 20;
static int P = (int) (1e9 + 7);
static F[][][][] f = new F[N][10][7][7];
static int[] power7 = new int[N];//10的i次方mod 7
static int[] power9 = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
init();
int T = sc.nextInt();
while (T-- > 0){
long l = sc.nextLong();
long r = sc.nextLong();
System.out.println(mod(dp(r) - dp(l - 1), P));
}
}
private static int dp(long n) {
if (n == 0) return 1;
long backup_n = n % P;
ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (n > 0) {
nums.add((int) (n % 10));
n /= 10;
}
int res = 0;
long last_a = 0;
long last_b = 0;
for (int i = nums.size() - 1; i >= 0 ; i--) {
int x = nums.get(i);
for (int j = 0; j < x; j++) {
if (j == 7) continue;
int a = mod(-last_a % 7 * power7[i + 1], 7);
int b = mod( -last_b, 7);
F v = get(i + 1, j, a, b);
res = (int)((res +
(last_a % P) * (last_a * P) % P * power9[i + 1] % P * power9[i + 1] % P * v.s0 % P +
2 * (last_a % P) % P * power9[i + 1] % P * v.s1 % P +
v.s2) % P);
}
if (x == 7) break;
last_a = last_a * 10 + x;
last_b += x;
if (i == 0 && last_a % 7 != 0 && last_b % 7 != 0) res = (int)((res + backup_n * backup_n) % P);
}
return res;
}
private static F get(int i, int j, int a, int b) {
int s0 = 0;
int s1 = 0;
int s2 = 0;
for (int x = 0; x < 7; x++) {
for (int y = 0; y < 7; y++) {
if (x == a || y == b) continue;
F v = f[i][j][x][y];
s0 = (s0 + v.s0) % P;
s1 = (s1 + v.s1) % P;
s2 = (s2 + v.s2) % P;
}
}
return new F(s0, s1, s2);
}
private static void init(){
//初始f
for (int i = 0; i < f.length; i++) {
for (int j = 0; j < f[i].length; j++) {
for (int k = 0; k < f[i][j].length; k++) {
for (int l = 0; l < f[i][j][k].length; l++) {
f[i][j][k][l] = new F(0, 0, 0);
}
}
}
}
for (int i = 0; i <= 9; i++) {
if (i == 7) continue;
F v = f[1][i][i % 7][i % 7];
v.s0++;
v.s1 += i;
v.s2 += i * i;
}
long power = 10;
for (int i = 2; i < N; i++, power *= 10) {
for (int j = 0; j <= 9; j++) {
if (j == 7) continue;
for (int a = 0; a < 7; a++) {
for (int b = 0; b < 7; b++) {
for (int k = 0; k <= 9; k++) {
if (k == 7) continue;
F v1 = f[i][j][a][b];
F v2 = f[i - 1][k][mod((int) (a - j * (power % 7)), 7)][mod(j - b, 7)];
v1.s0 = (v1.s0 + v2.s0) % P;
v1.s1 = (int) ((v1.s1 + j * (power % P) % P * v2.s0 + v2.s1) % P);
v1.s2 = (int)((v1.s2 +
j * j * (power % P) % P * (power % P) % P * v2.s0 % P +
2 * j * (power % P) % P * v2.s1 % P +
v2.s2) % P);
}
}
}
}
}
power7[0] = 1;
power9[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) {
power7[i] = power7[i - 1] * 10 % 7;
power9[i] = (int) (power9[i - 1] * 10L % P);
}
}
private static int mod(long x, int y){
return (int) ((x % y + y) % y);
}
}
class F{
int s0;
int s1;
int s2;
public F(int s0, int s1, int s2) {
this.s0 = s0;
this.s1 = s1;
this.s2 = s2;
}
}