A/B(hdu1576 乘法逆元)

题意：要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

思路：求乘法逆元

满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。当且仅当gcd(k,p) = 1,如果可逆则可定义除法 x/k = x * a mod p

 

为什么要有乘法逆元呢？

当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。

我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

(A/B)%9973，但由于A很大且gcd(B,9973) = 1)，所以我们可以求B的逆元然后 k*B = 1 mod n 然后改写式子 (A/B)%9973 = A % 9973 * k%9973

B的逆元就用扩展欧几里德解  k*B = 1 mod n --> k*B + m*n = 1;

#include
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using namespace std;

typedef long long int64;
int64 Exgcd(int64 a,int64 b,int64 &x,int64 &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int64 r = Exgcd(b,a%b,x,y);
        int64 temp = x;
        x = y, y = temp - a/b*y;
        return r;
    }
}

int main()
{
    int t;
    int64 n,b = 9973,B,x,y;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&B);
        int64 d = Exgcd(B,b,x,y);
        b = b / d;
        x = x / d ;
        x = (x % b + b) % b;
        printf("%I64d\n",(n%9973 * x%9973)%9973);
    }
    return 0;
}