数学学习之阶乘

今天看了一会《离散数学及其应用》的第一章后面的上机题的第一道题。

求n！的位数在100到100之间的最大的n。

      要解决这个问题，首先就来研究一下阶乘的性质。

      查一下wiki百科，就会发现关于阶乘有个斯特林公式：    （有兴趣戳这里），那么我们就可以很快的求出n的阶乘。但是我们不需要求出n的阶乘，只需要知道它有多少位。所以现在就要知道怎样求一个数有多少位了。答案就是log(n)+1。下面是简单证明：

      设一个数为n，它有w位，则它可表示为n=c+10^(w-1)，其中c<10。所以w=log（n）+1。

      所以有斯特林公式，就可以很快的求出n的阶乘有多少位了。不过当n不大的时候，可以有log（10）=log（1）+······+log（n）得到。可以看一下（Poj 1423 big bumber ）就是求一个数有多少位。

      因此，解决上面的问题求n！的位数在100到100之间的最大的n，就只需要简单的枚举下就可以了。

    既然在看阶乘，就一下把相关的题目做一做吧。

     求n！后面有多少个零。poj 1401 facrorial

     将n！展开：n!=1*2*3*4*5······*n。要想知道末尾有多少零，只需知道有多少个2和5相乘就可以了。又因为在n！中5比2少很多，只需要知道有多少个5既可以了，即在n！中，因子5出现了多少次。关于这个问题，《具体数学》中有所提及。

     给定一个素数p，在｛1，2，3，···n｝中，它的倍数有ceil(n/p)个。

            则p的平方， 在｛1，2，3，···n｝中，它的倍数有ceil(n/p^2)个。

    依次类推，就知道在｛1，2，3，···n｝中，素数p一共出现了多少次。