EXGCD - The equation - SGU 106

EXGCD - The equation - SGU 106

题意：

$给定整数：a,b,c,l_1,r_1,l_2,r_2，对方程ax+by+c=0，计算有多少组整数解(x_0,y_0)，$

$满足：l_1\le x_0\le r_1且l_2\le y_0\le r_2。$

输入：

$整数a,b,c,l_1,r_1,l_2,r_2，所有整数的绝对值均不超过10^8。$

输出：

$一个整数表示答案。$

Sample Input

1 1 -3
0 4
0 4

Sample Output

4

---

分析：

$解ax+by+c=0，用扩展欧几里得算法，记d=gcd(a,b)，$

$先解方程ax+by=d，假设方程有解，且a>0,b>0，(x_0,y_0)是一组特殊解，$

$则方程通解的形式为：\{\begin{array}{l}x=x_0+k{b}^{\prime }\\ y=y_0-k{a}^{\prime }\end{array}，其中b^{\prime }=\frac{b}{d}，a=\frac{a}{d}.$

$然后我们将x和y同时扩大$$\frac{-c}{d}$$倍。$

$要求解(x,y)满足：\{\begin{array}{l}{l}_1\le x\le r_1\\ l_2\le y\le r_2\end{array}，即$$\{\begin{array}{l}\frac{l_1-x_0}{b^{\prime }}\le k\le \frac{r_1-x_0}{b^{\prime }}\\ \\ \frac{y_0-r_2}{a^{\prime }}\le k\le \frac{y_0-l_2}{a^{\prime }}\end{array}$

$然后我们取区间的交集，就能够计算出满足条件的k的个数，即整数解对的个数。$

$当a<0时，我们可以计算(-a)x+by=-c，且满足l_1\le -x\le r_1，l_2\le y\le r_2的整数解对(x,y)的数量。$

$当b<0时，同理。$

$当-c<0时，在方程两边同时乘-1，即将a变为-a，b变为-b，就能够不更改解所在的区间。$

$这样我们能够减少分类讨论的情况。$

特殊情况：

$①、a=b=0，$

$Ⅰ、c=0，此时任意的(x,y)均满足条件，答案：(r_1-l_1+1)\times (r_2-l_2+1)$

$Ⅱ、c\ne 0，无解。$

$$\begin{gathered} ②、a=0，b\ne 0，解by=-c，先判断b是否能够整除(-c)，若不能，答案为0； \\ 再判断-\frac{c}{b}是否在区间[l_2,r_2]内，若在，答案为r_1-l_1+1；否则为0. \end{gathered}$$

$③、a\ne 0，b=0，同理。$

注意：

$区间左端点处应当为上取整，右端点应当为下取整。$

$x和y的范围在10^8，在扩展欧几里得计算的过程中可能会爆int，故x,y要开ll，尤其要注意有乘法的部分。$

$由于区间端点可能有负数，故向上取整和和向下取整时最好用ceil和floor函数来完成。$

$因为负数除整数，默认是向上取整。$

代码：

#include
#include
#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

int exgcd(int a,int b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    
    return d;
}

int main()
{
    int a,b,c,l1,r1,l2,r2;
    ll x,y;
    ll ans;
    cin>>a>>b>>c>>l1>>r1>>l2>>r2;

    if(a==0&&b==0)
    {
        if(c!=0) ans=0;
        else ans=(ll)(r1-l1+1)*(r2-l2+1);
    }
    else if(a==0&&b!=0)
    {
        if(abs(c)%b!=0) ans=0;
        else
        {
            int t=-c/b;
            if(t>=l2&&t<=r2) ans=r1-l1+1;
            else ans=0;
        }
    }
    else if(a!=0&&b==0)
    {
        if(abs(c)%a!=0) ans=0;
        else 
        {
            int t=-c/a;
            if(t>=l1&&t<=r1) ans=r2-l2+1;
            else ans=0;
        }
    } 
    else
    {
        if(c>0) c=-c, a=-a, b=-b;
        if(a<0) a=-a, l1=-l1, r1=-r1, swap(l1,r1);
        if(b<0) b=-b, l2=-l2, r2=-r2, swap(l2,r2);
        
        int d=exgcd(a,b,x,y);
        if(abs(c)%d!=0) ans=0;
        else
        {
            int b1=b/d, a1=a/d;
            x=x/d*(-c), y=y/d*(-c);
            int L1=ceil((double)(l1-x)/b1), R1=floor((double)(r1-x)/b1);
            int L2=ceil((double)(y-r2)/a1), R2=floor((double)(y-l2)/a1);
            int L=max(L1,L2), R=min(R1,R2);
            ans=max(0,R-L+1);
        }
    }
    
    cout<<ans<<endl;
    
    return 0;
}