素数题目总结及mr判断素数

素数水题lv_16（大概是只需要打表加遍历，，，也不需要思考，也不会超时，更悲痛的是，换了个题干，结果做法一模一样，或者是微改，微到什么程度呢？大概是改改输出格式、输出内容吧！）

*NUC1019 数素数 呵呵哒，看起来好像很有恐怖什么2的次幂啥的，都是虚晃一招，实际上求前缀和就好了

*哥德巴赫猜想集结……简直了，要不然找对数，要不然找最远的（从2开始遍历），要不然找最近的（从一半开始，偶数-1）。。。

*大概前缀和求区间内素数个数的题目也挺多的吧！

*Reversing Encryption（CF-999B） 反转一到它的因子位置的所有字符，难度在于反转不太好搞，仔细一看就是将因子位置--的字符跟第i++个字符换一换（从有点难降下来的！我容易嘛！）

素数有点难耶lv_8（大概会超时？需要优化，需要一点思考）

*HDU 1319 Prime Cuts 难点：从输出位于中间的素数，需要判断到n之前有几个质数以确定打印奇数个还是偶数个。解决方案：判断问题，因为数据量小，只有1000，只需要遍历计数就可以。输出：st=(num-c)/2+1; en=st+c-1（这个是试出来的。。。每个人的都不一样，不过(num-c)/2这个要好好记记。这个题PE有点多。。。那个空格的放的位置，跟最后一行的空格有点emmm

*HDU1431 素数回文 难点：容易超时，容易爆内存、数组不好开。解决方案：①先判断素数，在判断回文数②素数打表③100000000内最大的素数为9989899，是很大，是个很好的突破口，这个常用！！！

*NUC1921 E.迷雾森林 将n分成好几组素数，一开始想暴力分组，再一想果然不行，人家要的是分组的情况数目。看了题解得知，分组不就是分解成质因子相加吗！再推，得到的就是打表所有素数，然后判断所有的1~n/2即可（一下子看prime[i]和prime[num-i])，不过我还是有点疑问昂，为什么因子不能是3个呢。

*UVA10200 Prime Time 本来想当个水题放过去，但是怎么说也是写了个前缀和的啊，而且第一时间我居然没想到前缀和，很难受，放在这里提醒一下我自己。

*POJ3292  Semi-prime H-numbers 给了一些公式，求满足条件的数，有个不明白的地方是当他们再找那个数的时候明明都是要素数结果过程中却默认全都是素数，用这些数找满足情况的数字。

*哥德巴赫猜想（升级版）（洛谷-P1579）事实证明，菜鸡永远都是菜鸡，只要换换题型就不会了。这个不同的是三个因子了，遍历第一个因子，再遍历第二个因子，再通过数字判断第三个因子，呵呵哒~

*Bi-shoe and Pi-shoe 是一个看起来像是欧拉函数的素数题目，讲的是找到第一个欧拉函数大于等于n的数字，因为素数的欧拉函数一定是它本身减去1，所以这个题目就是这样一个个去找，找到大于x的第一个素数啦~很简单吧~（思路一点都不简单呢！）

素数好难啊！！lv_3（很难相出解题方法，需要结合别的性质、定理、算法！要不然就特别需要优化）

*POJ2739 Sum of Consecutive Prime Numbers 这个涉及到一个尺取法，记录ing，看了解析，这个题目完全是为尺取法量身打造的！附加大佬解析：看me看me~~，因为暴力需要前缀和+循环记录开始，时间复杂度高，就有了这个时间复杂度O(n)的算法。

尺取法个人理解：尺取法通常是对数组保存一对下标，即所选取的区间的左右端点，然后根据实际情况不断地推进区间左右端点以得出答案。这个应该可以取代暴力枚举区间！

用i、j分别表示区间的开始结束，如果区间和太小，i+1，sum加上新的数字，如果太大j+1，sum减去刚刚丢掉的小尾巴，直到相同（数据必须要有解）。

很简单吧！好喜欢这个算法哦（因为简单好想嘻嘻）

*Primes on Interval（CF-237C）*前缀和*二分查找 莫名眼熟的题目。。这个类型的题好像有很多。数据很大，枚举超时，又是用前缀和，我又没想到！！还要用二分，找最小的区间，然后循环这个大小的区间和，看看是否满足条件。难点，二分前缀和。

*处女座的测验（一） 积性函数！本身是因子，并且求出两者相乘数的因子个数。哦嚯，素数打表，t()是积性函数，满足t(xy)=t(x)t(y)，要满足最后结果>10。对于任意一个质数来说它的因子数都是只有两个1和它本身，那么两个质数相乘就是有4个，那么再让这两个质数相乘的积再相乘的话，就会一共有16个因子，所以任意的四个质数相乘的结果的因子个数都是16个，所以根据这个条件我们先筛除前4000个质数，然后首尾两两相乘就可以得到需要的2000个数了(如果不是首尾相乘而是相邻两个相乘，到后面会超过题目要求的范围)。

积性函数：成立需要满足：xy两两互质。

看了两个大佬的博客，终于看了这20多个素数的题目，总的来说，素数整体题目偏简单，但是要是组合着别的算法考也不是很好理解。难点在于->超时、题目理解、算法结合。

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要讨论判断一个【1,2^31】内的数是否为素数，因为2^31太大无法打完整的表，所以我们要投巧。

根据基本素数判别法。打一个1~50 000的素数表，看该数字是否存在一个1~50 000的素因子，如果存在就不是素数，否则是素数。因为任何一个非素数都可以表示为若干个素数之积。

#define N 50001  
  
bool isprime[N];  
int prime[N],nprime;  
//1~5万素数打表
void doprime()  
{  
    long long i,j;  
    nprime=0;  
    for(i=0;i

*POJ 2689 Prime Distance

题意：给定两个数L,R（1≤L＜R≤2 147 483 647），在[L,R]内找出相邻素数C1,C2使其距离最小，找出相邻素数C3,C4使其距离最大。若距离相同，选最初的一组。（R-L<1 000 000）。

思路：L和R的范围比较大，不能直接打表。

因为正整数N是素数，当且仅当N不能被任何一个小于sqrt（N）的素数整除。所以如果N是一个合数，那么N必然存在一个小于sqrt（N）的素数因子。

而sqrt（2 147 483 647）<50 000  所以可以打一个1~50 000的素数表F1，然后可以根据这个素数表可以打出1~2 147 483 647内任意区间的素数表。

代码：（啊哈~总感觉间过好几次这个题了，可四现在才有点会，过几天可能就不能想起来这个代码了。。但是果然吧！以前不会的早晚我都会会的！！心情不好看不进去当然是不会的啦）

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
 
typedef long long int64;
 
bool isprime[1000005];
int prime[50001],nprime,use[1000005];
//素数打表
void doprime()
{
	long long i,j;
	prime[1]=2;
	nprime=1;
	for(i=1;i<50000;i+=2)
		isprime[i]=true;
	for(i=2;i<50000;i++)
	{
		if(isprime[i])
		{
			prime[++nprime]=i;
			for(j=i*i;j<=50000;j+=i)
				isprime[j]=false;
		}
	}
}
求最大最小的区间
bool solve(int64 L,int64 R,int64 &a,int64 &b,int64 &c,int64 &d)
{
    //先利用刚刚打的1~50000的表打出L-R的表
	int64 i,j,s;
	for(i=1;i=0)
				isprime[j-L]=false;
	}
	int np=0;
    //因为刚刚存的就是j-L的表，现在也要跟着一起变
	for(i=0;i<=R-L;i++)
	{
		if(isprime[i])
		{
            //i+L才是那个素数
			use[np++]=i+L;
		}
	}
    抱歉，区间内没有素数
	if(np<=1)
		return false;
	//找鸭~~
	int dmax=-1,dmin=2147483647;
	for(i=0;idmax)
		{
			dmax=use[i+1]-use[i];
			c=use[i];
			d=use[i+1];
		}
	}
	return true;
}
 
int main()
{
	doprime();
	int64 a,b,c,d;
	int64 L,R;
	while(scanf("%lld%lld",&L,&R)!=EOF)
	{
		if(L<=1) L++;
		memset(isprime,true,sizeof(isprime));
		if(solve(L,R,a,b,c,d))
			printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.\n",a,b,c,d);
		else
			printf("There are no adjacent primes.\n");
	}
	return 0;
}

*Miller_rabin算法

1.题目：判断一个【1，2^63】内的数是否为素数

2.思路：大数判断素数，这个方法大概是那种判断成功概率极大的算法，但也不是百分白的正确率的，大数的算法永远是人们心中的痛

Miller_rabin算法解释：

Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法，是基于费马小定理所产生的算法。

根据费马小定理:对于任何一个质数 P 和整数 a，其中 a 和 P 互质，那么有 a ^ ( P-1 ) ≡ 1 ( mod P)。反过来说，如果我们取一个p（不知道是不是素数），如果此时恰好有一个a，使p满足 a ^ ( P-1 ) ≡ 1 ( mod P)，那么p是不是就一定是素数呢？

实际上，如果有 a 不满足同余式，就意味着 P 不是质数；如果多个 a 都满足同余式，我们就可以猜想 P 是质数<-算法的误差所在。

所以，现在我们所通过费马小定理推出判断质数 P 的方法是：在 2 ~ P-1（a=1 也没关系）中，随机选择数 a（大概5~10个，因为Rabin验证了Miller的想法只需要5~10个数字的验证就够了），若 a 正好不满足 a ^ ( P-1 ) ≡ 1 ( mod P )，就说明 P 不是质数；如果多个 a 都满足，就说明 P 极大概率下是质数。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;

//计算a*b%mod
ll mod_mul(ll a, ll b, ll n){
    ll cnt = 0LL;
    while(b){
        if(b&1LL) cnt = (cnt+a)%n;
        a=(a+a)%n;
        b >>= 1LL;
    }
    return cnt;
}
//计算a^b%mod
ll mod_exp(ll a, ll b, ll n){
    ll res = 1LL;
    while(b){
        if(b&1LL) res = mod_mul(res,a,n);
        a = mod_mul(a,a,n);
        b >>= 1LL;
    }
    return res;
}
//Miller-Rabin测试，测试n是否为素数
bool Miller_Rabin(ll n, int respat){
    if(n==2LL || n==3LL || n==5LL || n==7LL || n==11LL) return true;
    if(n==1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11)) return false;
    
    int k = 0;
    ll d = n-1; //要求x^u%n 不为1一定不是素数
    
    while(!(d&1LL))
    {
        k++; d >>= 1LL;
    }
    srand((ll)time(0));
    for(int i = 0; i < respat; i ++) {
        ll a = rand()%(n-2)+2;     //在[2,n)中取整数
        ll x = mod_exp(a,d,n);
        ll y = 0LL;
        for(int j = 0; j < k; j ++){
            y = mod_mul(x,x,n);
            if(1LL==y && 1LL!=x && n-1LL!=x)return false; //二次探测定理，这里如果y = 1则x必须等于 1
                                                          //或n-1,否则可以判断不是素数
            x = y;
        }
        if(1LL != y) return false;     //费马小定理
    }
    return true;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    if(Miller_Rabin(n,5))cout << "Yes\n";
    else cout << "No\n";
    return 0;
}

唯一分解定理

设a=p1^c1*p2^c2*p3^c3*p4^c4……*pn^cn

那么数n的因子个数为(1+c1)*(1+c2)*(1+c3)*……*(1+cn)。

数n的所有的因子之和为。