组合导航（六）：惯性导航误差建模

1.导航误差状态方程（L系）

INS的准确性受到各种因素的影响，如：初始对准过程中的误差、传感器误差、算法误差。
若知道这些误差对导航参数(位置、速度和姿态)的影响，就可以通过建模来进行误差的估计，从而减小误差对导航结果的影响。
因此，误差模型是分析和估计惯性导航系统误差源所必需的。估计器包括：卡尔曼滤波（KF) ；粒子滤波(PF) 和AI技术统上。
Mechanizaion状态方程用于确定性动态系统物理过程的描述。这些方程的解中含有误差(确定性和随机性)，因此需要使用传感器误差模型来进行分析和估计。
动态系统的的误差随时间变化，因此可以用微分方程来描述。由于这些方程是非线性的，在使用卡尔曼滤波之前需要将它们线性化。

根据上一章可知，导航参数方程具有以下关系：

LLF系（东北天）下的误差状态方程包括：纬度、经度、高度误差；东北天三个方向的速度误差、三个姿态角的误差；以及加速度计误差和陀螺仪漂移；
总误差为15维的状态矢量：

1.1导航误差——位置误差（L系）

位置误差指的是，地理位置（纬度、经度、海拔）估计值的误差，已知位置的导数为：

位置误差定义为：

通过一阶泰勒展开，整理等式右侧，并省略矩阵中的极小项，得到位置误差的导数具有以下形式：


由上式可知，位置误差的状态方程与位置状态方程的转移关系近似相同。

1.2导航误差——速度误差（L系）

加速度测量值需要去除科氏力和重力矢量的影响后，才可进行积分计算。

假定上式的误差可写成：

则，速度误差为：

将上式等号右边分为5个子项：

(1)根据反对称矩阵定理：Ab=-Ba，第一项可改写为：

其中：Fl为在L系上加速度比力矢量 fl:[ fe, fn, fu ] 的反对称矩阵；
(2)第二项

(3)第三项
由上一章已知，l系相对于e系的角速率、e系相对于i系的角速率为：

将角速率矢量转化为反对成矩阵形式，并代入到第三项中，得到：

(4)第四项
角速率的误差定义：

省略中间推导过程，可得到：

代入定义：

省略分母的二次方项，得到：

因此，第四项最后结果为：

(5)第五项
R为地球半径，g为重力矢量的模

经过整理合并，速度误差可写成：

方程右边的第三项和第四项中，包含以地球半径作为分母的元素，以及乘以地球自转角速度（we）的元素，这些元素相对较小，在实际计算可忽略不计。因此，省略较小项的速度误差可简洁的表示为：

注意：加速度分量fe 、fn与重力矢量相比是很小的(接近于零),而 fu 接近重力加速度(9.8米/ sec2)。
因此，根据上述关系可知 deta( ve)与deta( r)、deta( vn)与deta( p)之间存在强耦合关系，而deta(ve)、deta(vn)与deta(A)之前是一种弱耦合的关系。

1.3导航误差——姿态误差（L系）

姿态误差：两个坐标系相对旋转的误差，实际上是由角速度误差引起的。
根据上一章，已知旋转矩阵的状态方程：

由于理论计算值存在误差，因此与真实值之间存在一个误差小量：（用带上三角的符号表示理论计算值，不带上三角的符号为真实值）

其中，旋转误差小量可以写为【欧拉角误差的反对称矩阵】乘以【两个坐标系之间的真实旋转矩阵】的形式：

将包含误差的式子代入旋转矩阵的状态方程：

同时b系相对于l系的角速度的反对称矩阵也可写成：真实值角速度+线性角速度误差 的形式：

这样就得到了一个旋转矩阵的导数与角速率误差、姿态角误差的关系式，为了进一步探究姿态角误差的变化与说明因素有关，我们可以通另一个方式获得一个等价的方程。

为了得到矩阵R的变化率，需要对理论测量的旋转矩阵求导，用姿态角误差变化率表示变换矩阵R的变化率：


通过两个等价方程，可以得到：

消去等式两侧的相同元素：


等式右边第二项为二阶误差，可以忽略不计，因此可以得到姿态角误差的变化率为：

上式是反对称矩阵的形式，将其转化为矢量形式的姿态角误差变化率：

上式说明了：姿态误差=[ deta( p) ,deta( r) ,deta( A) ]T 可通过角速度误差deta(Wlb)表示。

下面分析角速度误差deta(Wlb)的表达式；
载体系b相对于大地系l的 角速度Wlb 由l系相对于惯性系i的角速率（Wil） - 传感器测量的b系相对于i系的角速率（Wib） 得到，即：

角速度误差deta(Wlb)可表示为：

根据反对称矩阵公式：Ab=-Ba ，有:

将deta(Wlb)代入角速度误差方程：


根据上式，可知姿态角误差由以下几个因素构成：1. 导航参数误差 deta(Wil) ； 2.载体系旋转速率的测量误差 deta(Wib)；3. 以及i系相对于l系的角速率的反对称矩阵

导航参数误差 deta(Wil)具有以下定义：

同样，i系相对于l系的角速率的反对称矩阵



综合以上式子，可以得到姿态角误差的变化率为：

其中，第三项和第四项中包含地球半径的倒数项、以及地球旋转的乘积项，在大多数的导航计算中可以将其忽略不计，因此姿态角误差可以仅保留前两项，简化为：
上式隐含的强耦关系也被称为舒勒效应。

1.4 导航误差——传感器误差（L系）

传感器误差主要是陀螺仪漂移和加速度计偏差，包含确定性误差与非确定性误差。确定性部分在实验校准过程中进行计算，并在测量中进行补偿。传感器误差的不确定性部分是随机的，采用随机模型进行建模。
这些误差通常在时间上是相关的，常用的建模方法包括：随机游走过程、一阶高斯-马尔科夫（GM）过程和自回归（AR）过程。

传感器的随机误差模型一般采用一阶GM过程进行建模，其一般形式为：

x: 随机过程
beta：过程相关时间的倒数
W： 零均值不相关的高斯噪声的单位协方差
segma2：随机过程高斯白噪声的协方差

（1）加速度计Bias误差

（2）陀螺仪漂移drift误差

1.5 导航误差小结（L系）

L系的位置、速度、姿态的状态误差以及传感器误差，可归结为：

其中

状态误差的流程框图：

若将上述误差状态方程写为一阶微分形式：

2. Schuler 效应

舒勒效应与速度误差deta(ve)与deta(vn)、俯仰角误差deta( p)与横滚角误差deta( r)在水平面上的耦合有关。这种耦合关系限制了水平和垂直速度以及俯仰和滚转角的误差。

2.1 东向误差的舒勒效应

根据误差模型，我们已知，横滚角roll误差的状态方程为：

东向的速度误差Ve的状态方程为：

因为 fu接近重力加速度g，而 fn 非常小，因次上式可进行简化，可知 deta（ve）与deta（r）之间存在强耦合的关系：

对上式求导（东向速度误差求二阶导），并代入roll误差的导数关系式，可得：

方程解得的 东向速度误差deta（ve）随时间振荡的频率非常小，等于1/5000 Hz。将这种小频率震荡称为 舒勒频率 fs，时间间隔为84.4分钟。因此，速度误差是有界的。
舒勒频率：

同理，若是对roll误差求二阶导，并代入东向速度误差的导数，得到：

方程解得到的横滚角误差deta（r）同样会随时间以舒勒频率振荡。因此，姿态误差会随着时间的推移而变得有界。

东向速度误差deta（ve）与横滚角误差deta（r）之间存在强耦合关系，也就是说，如果从外部(如GPS)对INS的东向速度进行更新，从而得到准确的deta（ve）估计，也会使得横滚角误差deta（r）变得更准确。换句话说，速度的更新使得东向速度误差deta（ve）可观，而由于强耦合关系，这种可观性也会延伸到横滚角误差deta（r）上。

2.2 北向误差的舒勒效应

与东向的误差相似，舒勒效应 同样也体现在北向的误差模型上。
根据姿态误差的状态方程，可知 俯仰角pitch的误差变化率为：

而与之存在紧耦合关系的是北向的速度误差deta（vn）：

简化为：

分别对俯仰角pitch的误差和北向速度误差做二次微分：


方程解得的俯仰角pitch的误差随时间以舒勒频率 fs 振荡；**北向的速度误差deta（vn）与俯仰角的误差deta（p）**之间的强耦合如图所示。

当系统的北向速度由外部源更新时，不仅北向的速度误差deta（vn）得到了准确估计，由于强耦合关系，俯仰角的误差deta（p）也得到了准确估计。