计算机图形学：Mesh

第七章：Mesh

0 基本描述

• 网格有一系列的三角面片组成
• 三角面片包含三个点的索引
• 点索引可以在点表中找到相应的点

1 Tessellation

1.1 基础网格化方法（低效）

• 检测多边形的任意两顶点连线是否与任意边相交
• 如果相交则无法切割，否则可以切割，继续用该方法进行三角化.

1.2 Ear clipping

• 取相邻三个顶点i,i+1,i+2，检查线段[i, i+2]是否与边相交
• 如果没有相交则将该耳朵从多边形中去除，继续三角化

Subdivision(细分)

2.1 Loop Subdivision

• 每个边都会添加一个新节点，连接后一个三角形转变为四个三角形，同时更新每个原始顶点的位置
  

2.1.1顶点更新

如图（a）所示，新的顶点根据相邻点及自己的权重得到，n为相邻点数

$$\begin{gathered} p_{}^{k+1}=(1-n\beta )p_{}^k+\sum _{i=0}^{n-1}\beta p_i^k \\ \beta =\frac{\frac{5}{8}-(\frac{3}{8}+\frac{1}{4}cos\frac{2\pi }{n}{)}^2}{n} \end{gathered}$$

2.1.2新节点

$p_{}^k,p_i^k$是两个端点，$p_{i-1}^k,p_{i+1}^k$是两个相对顶点，如图（b）所示

$$p_i^{k+1}=\frac{3}{8}(p_{}^k+p_i^k)+\frac{1}{8}(p_{i-1}^k+p_{i+1}^k)$$

2.2 Catmull-Clark subdivision

• 设四边形的四个顶点为v0、v1、v2、v3，则新增加的顶点位置为v = 1/4*(v0 + v1 + v2 + v3)
• 设内部边的两个端点为v0、v1，与该边相邻的两个四边形顶点分别为v0、v1、v2、v3和v0、v1、v4、v5，则新增加的顶点位置为v = 3/8*(v0 + v1) + 1/16*(v2 + v3 + v4 + v5)。
• 设内部顶点v0的相邻点为v1、v2，…，v2n，则该顶点更新后位置为$v=\alpha v_0+\frac{\beta }{n}{\sum }_{i=1}^n{v}_{2i}+\frac{\gamma }{n}{\sum }_{i=1}^n{v}_{2i-1}$，其中α、β、γ分别为α = 1 - β - γ。
• 设边界边的两个端点为v0、v1，则新增加的顶点位置为v = 1/2*(v0 + v1)。
• 设边界顶点v0的两个相邻点为v1、v2，则该顶点更新后位置为v = 3/4v0 + 1/8(v1 + v2)。

2.3 $\sqrt{3}$Subdivision

• Different from Loop’s scheme Kobbelt, Kobbelt’s $\sqrt{3}$ scheme 3 scheme creates only 3 new triangles per-step
• It creates a new vertex (called mid-vertex) in the middle of each triangle, instead of a new vertex per edge.

为了得到更均匀分布的三角形，每个原始三角形的边都被翻转，使之连接两个相邻中间顶点而不是连接两个已经存在的旧顶点

2.3.1顶点更新

第一个式子为中间点的计算，第二个式子是三角形顶点的位置更新，第三个式子是$\beta$的计算

$$\begin{gathered} p_{middle}^{k+1}=\frac{p_a^k+p_b^k+p_c^k}{3} \\ {p}_{}^{k+1}=(1-n\beta )p_{}^k+\beta \sum _{i=0}^{n-1}{p}_i^k \\ \beta (n)=\frac{4-2cos(\frac{2\pi }{n})}{9n} \end{gathered}$$

3 Simplification(简化)

Approximating a given input mesh with a less complex but geometrically faithful representation

• remove reddundant(多余的) geometry
• reduce model size
• improve run-time performance

3.1 levels of detail (LOD)

• Topology (拓扑结构)：多边形网格的连接结构
• Genus（亏格）：网格表面孔洞的数目。如球或立方体为0，圆环为1

3.2 简化的基本算法

3.2.1 Vertex Decimation顶点删除

3.2.2 Edge Contraction边坍塌（边变成点）

3.2.3 面收缩（面变成点）

3.3 简化算法

3.3.1 Schroeder的局部判别准则

对于网格内部顶点v，记其周围相邻面片集为S，则该点的平坦性准则由下述的距离来描述：

$$\begin{gathered} d=|N\cdot (v-C)| \\ N=\frac{{\sum }_{f\in S}^{}n(f)A(f)}{{\sum }_{f\in S}^{}} \\ C=\frac{{\sum }_{f\in S}^{}c(f)A(f)}{{\sum }_{f\in S}^{}} \end{gathered}$$
这里A(f)，c(f)，n(f)分别为三角面片的面积、中心和法向量

3.3.2 Hoppe-渐进的网格简化技术

3.3.3 基于二次误差度量的简化技术