算法分析与设计 第六周 两个排序数组的中位数

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1.题目描述

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2.选题原因

本周为两节习题课，在习题课的最后，讨论到了这一题，没有讨论出结果。本来有一些思路，恰好看到了这一题，于是将其解决。

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3.题目分析及算法

3.1分析

这道题本来解法不难，正常思路有两种，一种是直接讲两个数组排序，然后直接找到中间数值，其算法复杂度为O(m + n) ；另一种是从两个数组的首部开始找，每找到一个小数，指针就向下移动一格，直到移动了(m + n) / 2其复杂度也为O(m + n)。因此两种算法都不符合题目O(log(m + n))的要求。
我们看题目要求，很容易联想到，log的复杂度，说明要用到二分之类的方法。将本题类比做寻找k值，（k = (m + n) / 2）。认真思考，二分的实质即是：每次剔除一般的值，一次递归，一直剔除到需要的值出现。如果是在一个数组中寻找，很简单，每次将两份数值中的一份删去即可，但是如果是两个数组，那又如何实现呢？
想象将两个数组同时二分，分成4段，能否得到可定可以删去的一段呢？是可以的，举个简单的例子：

我们来比较x与y的大小，如果x > y那么就说明mid n左边的一段一定是可以删去的，若是x < y，那么结果相反，删去的即是mid m左边的一段。一次操作过后，剩下的即是在剩下的三段中间找寻k - mid n/mid m大的值。
那么新的问题又出现了：如果在递归的过程中，某一段的mid m/mid n > k了应该怎么办？其实也很好解决，在我们二分的时候，将步长设置为k / 2即可。
现在考虑，完整的算法应该如何划分，选择。

这样，每次我们就能够从中间删除k / 2长度的区间。
但是我们的问题又来了，如果数组不够k / 2的长度呢？不就会越界访问了吗？因此，区间设置应该为min(k / 2, m_length, n_length)。

接下来，我们要思考，终点在哪里。实际上，终点就是 k == 1或者m\n长度为0的时候。

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3.2算法

(m + n)是奇数，寻找(m + n) / 2；否则寻找((m + n) / 2 + (m + n) / 2 + 1) / 2。
寻找k位算法：

• 若有数组为空，则结果为非空数组的第k位
• 若k == 1，则结果为两个数组首位中较小的那一个
• 选定坐标index1 = min(k / 2, n_length, m_length)与index2 = min(k / 2, n_length, m_length)
• 比较两个坐标的值，舍弃小的值所在数组坐标左边所有值。
• 结果再次递归，寻找第k - 舍弃数字个数的值

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4.核心代码

4.1出口

        //如果有数组为空，在剩下的数组中寻找即可
		if (mlen == 0) {
			return n[nstart + k - 1];
		} else if (nlen == 0) {
            return m[mstart + k - 1];
        }
        //只找一位，避免死循环
		if(k == 1) {
			return min(m[mstart], n[nstart]);
		}

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4.2比较过程

        int mmid, nmid;
        //避免越界，又要保证删去尽可能多的数据，因此选择长的数组作为起始分界点
        if (nlen > mlen) {
		    mmid = min(k / 2, mlen);
            nmid = k - mmid;
        } else {
            nmid = min(k / 2, nlen);
            mmid = k - nmid;
        }
        //判断
		if(m[mstart + mmid - 1] < n[nstart + nmid - 1]) {
			return findKth(m, n, mstart + mmid, nstart, mlen - mmid, nlen, k - mmid);
		} else {
			if(m[mstart + mmid - 1] > n[nstart + nmid - 1]) {
				return findKth(m, n, mstart, nstart + nmid, mlen, nlen - nmid, k - nmid);
			} else {
				return m[mstart + mmid - 1];
			}
		}

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5.结果

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6.源代码

    double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
	  	int m = nums1.size();
		int n = nums2.size();
	  	int len = m + n;
        //判断中位数有一位还是两位
	  	if (len % 2 != 0)
		  	return findKth(nums1, nums2, 0, 0, m, n, len / 2 + 1);
	  	else
	  	{
		  	return (findKth(nums1, nums2, 0, 0, m, n, len / 2) + findKth(nums1, nums2, 0, 0, m, n, len / 2 + 1)) / 2;
	  	}
    }
	double findKth(vector m, vector n, int mstart, int nstart, int mlen, int nlen, int k)
	{
        //如果有数组为空，在剩下的数组中寻找即可
		if (mlen == 0) {
			return n[nstart + k - 1];
		} else if (nlen == 0) {
            return m[mstart + k - 1];
        }
        //只找一位，避免死循环
		if(k == 1) {
			return min(m[mstart], n[nstart]);
		}
        int mmid, nmid;
        //避免越界，又要保证删去尽可能多的数据，因此选择长的数组作为起始分界点
        if (nlen > mlen) {
		    mmid = min(k / 2, mlen);
            nmid = k - mmid;
        } else {
            nmid = min(k / 2, nlen);
            mmid = k - nmid;
        }
        //判断
		if(m[mstart + mmid - 1] < n[nstart + nmid - 1]) {
			return findKth(m, n, mstart + mmid, nstart, mlen - mmid, nlen, k - mmid);
		} else {
			if(m[mstart + mmid - 1] > n[nstart + nmid - 1]) {
				return findKth(m, n, mstart, nstart + nmid, mlen, nlen - nmid, k - nmid);
			} else {
				return m[mstart + mmid - 1];
			}
		}
    }