剪绳子(CutRope) Java动态规划入门分析三

前言

我是想通过一些例题分析来带领我和大家入动态规划的门，若是我哪里分析或思考的有误区，或者错误，请大家能够对我进行评论或私信指正
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题干

给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？
示例1：
输入：8
输出：18
解释：当绳子的长度是8时，可以把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

动态规划入门分析

首先我们先做分析，当绳子长度分别为1，2，3的时候，1无法分割，2[1*1]，3[1*2]只能分割为带1的乘积的，此时的分割没有意义（一是因为分割后的值，比本身都小，二是因为带有1，1没有意义），所以我们在以后的分割中不考虑有1的情况（比如例子中8可分割为1*7，这个值不做考虑），分割中有1的情况，没有意义，又因为从4开始可以分割出不带1的分割（2*2），所以我们的基础值应该为2，3，也就是说其他所有的数都可以用2，3组成，然后我们又应该分析状态转移方程：f(0) = 2,f(1) = 3,也就是说n = 4的时候，f(n-2) = f(2)等于4的最大值2*2 = f(0) * f(0)，当n = 5的时候f(3) =Math.max(2*3 = f(0)f(1)) ,我们观察发现2*2 ，2*3 的规律为i n - i,所以状态转移方程f(n-2) = Math.max(f(i-2)*f(n-i-2)） {i为正整数，i > 1 && i < n - 1}

代码一

public static int cutRope(int length) {
        if (length < 2) {
            return 0;
        }
        if (length == 2) {
            return 1;
        }
        if (length == 3) {
            return 2;
        }
        int max = 0;
        int res[] = new int[length];
        res[0] = 2;
        res[1] = 3;
        for (int i = 4; i <= length; i++) {
            max = 0;
            for (int j = 2; j <= i / 2; j++) {
                int r = res[j - 2] * res[i - j - 2];
                if (max < r) {
                    max = r;
                    res[i - 2] = max;
                }
            }
        }
        max = res[length-2] ;
        return max;
    }

分析二

上面的分析得到了f(n-2) = Math.max(f(i-2)*f(n-i-2)） {i为正整数，i > 1 && i < n - 1}，我们发现这个方程式有个共同点，他们都减去了2，此时我们是否可以这样？f(n) = Math.max(f(i)*f(n-i)） {i为正整数，i > 0 && i < n },这样的话，f(2) = 2, f(3) = 3,f(0),f(1)任意取值（也就是占个位置）

代码二

public static int cutRope(int length) {  
        if(length < 2 ) {
            return 0;
        }
        if(length == 2) {
            return 1;
        }
        if(length == 3) {
            return 2;
        }
        int[] res = new int[length+1];
        //任意赋值res[0],res[1]
        res[0] = 0;
        res[1] = 1;
        res[2] = 2;
        res[3] = 3;
        int max = 0;
        for(int i = 4 ; i <= length ; i ++) {
            max = 0;
            for(int j = 1 ; j <= i/2 ; j++) {  
                int r = res[j] * res[i-j];
                if(max < r) {
                    max = r;
                    res[i] =max;
                }
            }   
        }
        max = res[length];
        return max; 
    }

若是哪里有理解错误的或写错的地方，望各位读者评论或者私信指正，不胜感激。