数论常用内容——数根

对于数根可能接触的不多，但是我觉得这里还是应该做一下简单的总结和介绍

数根

数根(又称数字根Digital root)是自然数的一种性质，每个自然数都有一个数根。

数根是将一正整数的各个位数相加(即横向相加)，若加完后的值大于等于10的话，则继续将各位数进行横向相加直到其值小于十为止，最后得到的数字就是该数的数根

数根的性质

root(a+b)=root(root(a)+root(b))

root(a*b)=root(root(a)*root(b))

root(a)=root(root(a/10)+a%10)

几种常用数根计算的代码实现

n的数根（模拟）

int root(int n){
    while(n>9){
        n=n%10+n/10;
    }
    return n;
}

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n的数根（找规律）

int _root(int n){
    return n?(n+8)%9+1:0;
}

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n的数根（大数）

int __root(char *p){
    int n=0;
    for(int i=0;p[i];i++){
        n+=p[i]-'0';
    }
    return n?(n+8)%9+1:0;
}

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n^n的数根（找规律）

int digitalRoot(int n){
    int tree[19]={9,1,4,9,4,2,9,7,1,9,1,5,9,4,7,9,7,8};
    return tree[n%18];
}

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a^b的数根（模拟）

int _digitalRoot(int a,int b){
    a=root(a);
    int ans=1;
    while(b--)
        ans=root(ans*a);
    return ans;
}

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a^b的数根（二进制法）

int __digitalRoot(int a,int b){
    a=root(a);
    int t=a,ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=root(ans*t);
        b>>1;
        t=root(t*t);
    }
    return ans;
}