博弈经典模型

巴什博奕

概述：有n个石子，每个人可以拿1-m个石子，不能拿的为败者.
易知当玩家面临m+1个石子时是必败的，所以初始为k*(m+1)个石子时先手必败，应为无论如何，后手都能调整为（k-1）*（m+1）的形式，同理，当初始为k乘(m+1)+r,r小于m大于0时，先手必胜.

nim博弈

问题：n堆石子，每次从某一堆中拿若干个，无法操作者输。
结论：所有石子数异或和为0则后手胜，否则前手胜。
如果异或和不为0，则无论如何都能用数量最多的那一堆调整出异或和为0的形式

NimK博弈

问题：n堆石子轮流取，每次可以任选m堆取任意个，无法操作者输，求是否先手必胜。
结论：在二进制意义上，如果每一位的1的个数都是m+1的倍数，那么先手必输。Nim游戏可以看做m=1的NimK游戏。因为异或就相当于把每一位1的个数加起来对2取模.

威佐夫博弈

问题：有两堆若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从2堆中取同样多的物品，规定每次可以取任意个，但必须取。无法操作者输。
奇异局势：称先手必败局为奇异局势，那么前n个奇异局势为：
(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13)
a=(int)（b-a）*黄金分割
黄金分割=二分之（根5+1）=1.618

斐波那契博弈

问题：有一堆n个石子，2人轮流取，先取者可以取走任意多个，但不能全取完，以后每人取的石子数不能超过上个人的2倍，无法操作者输。
结论：先手必败当且仅当石子数为斐波那契数

无向图删边游戏

树的删边游戏
问题：有如下规则：
给出一个有n个节点的有根树。游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后，不与根节点相连的部分将被移走。无法操作者输
结论：叶子节点的SG值为0，中间节点的SG值为它所有子节点的SG值加1后的异或和。
无向图删边游戏
1.一个无向联通图，有一个点作为图的根
2.游戏者轮流从图中删去边，删去一条边后，不与根相连的部分将被移走。
3.无法操作者输
对无向图做如下改动：将图中任意一个偶环缩成一个新点，任意一个奇环缩成一个新点加一个新边；所有连到原先环上的边全部与新点相连，这样的改动不会影响图的SG值。