阶乘除法 —— legendre 勒让德定理

题目描述

 

输入

第一行三个整数，n，m和T。

第二行n个数，第i个数表示ai。

第三行m个数，第i个数表示bi。

输出

输出一个数，答案对T取余数的结果。

样例输入

3 2 998244353
2 2 6
3 3

样例输出

80

具体分析

由于这里有阶乘，还有mod T ， 所以可以考虑legendre定理

legendre定理：在n！标准分解式（质因数分解）中，素数p的最高指数为

通过它，我们就能把原式分解为：

这里我们先不管maxx（反正是个范围）

这时我们考虑桶排序

用一个c数组来当桶存a[i]，原式就化简为：

这里我们先不管maxx和pn（反正还是个范围）

其实我们发现下去整这里是有阶段性的

其实就是 2/2 = 3/2下去整

所以我们可以去枚举

于是：

这时i是的值

但是这样是四重循环，我们其实可以优化，还记得我们是用桶来做的吗，我们可以用桶做前缀和，就像这样：

for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
        scanf( "%d" , &x );
        s[x] ++;
        maxx = max( x , maxx );
    }
    for( int i = 1 ; i <= maxx ; i ++ )
        s[i] = s[i-1] + s[i];

然后第四重循环就变成了s[(i+1)*p∧k-1] - s[i*p∧k-1]。

然后我们用质因数分解做，用一个a[]数组存

这里不知道怎么描述，大家还是看代码吧

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 2;
bool vis[MAXN];
int n , m , x , maxx;
long long s[MAXN] ;
int pn , prime[MAXN];
long long t , a[MAXN];//这里最好都开long long ，自己因为这个错了n遍
void pr( ){//用欧拉筛求素数
    for( int i = 2 ; i <= MAXN - 2 ; i ++ ){
        if( vis[i] == 0 ){
            prime[++pn] = i;
        }
        for( int j = 1 ; j <= pn && 1ll * i * prime[j] <= MAXN - 2 ; j ++ ){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if( i % prime[j] == 0 ) break;
        }
    }
}
long long qpow( long long x , long long y ){
    long long sum = 1;
    while( y ){
        if( y % 2 )
            sum = sum * x % t;
        x = x * x % t;
        y /= 2;
    }
    return sum;
}
int main(){
    pr();
    scanf( "%d%d%lld" , &n , &m , &t );
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
        scanf( "%d" , &x );
        s[x] ++;
        maxx = max( x , maxx );//算一个最大值，这样可以节省时间，不用每次都是MAXN
    }
    for( int i = 1 ; i <= maxx ; i ++ )
        s[i] = s[i-1] + s[i];
    for( int i = 1 ; i <= pn && prime[i] <= maxx ; i ++ ){//枚举质数
        for( long long j = prime[i] ; j <= maxx ; j *= prime[i] )//这里是枚举p的k次方
            for( long long k = 1 ; k * j <= maxx ; k ++ ){//枚举下去整的值
                long long l = k * j , c = min( 1ll * maxx , 1ll * ( l + j - 1 ) );
                a[i] += ( s[c] - s[l-1] ) * k;//如果这里已经大于maxx，那么就取maxx，否则数组越界
            }
    }
    memset( s , 0 , sizeof( s ) );
    maxx = 0;
    for( int i = 1 ; i <= m ; i ++ ){
        scanf( "%d" , &x );
        s[x] ++;
        maxx = max( maxx , x );
    }
    for( int i = 1 ; i <= maxx ; i ++ )
        s[i] = s[i-1] + s[i];
    for( int i = 1 ; i <= pn && prime[i] <= maxx ; i ++ ){//因为是除法，我们可以当做它是
        for( long long j = prime[i] ; j <= maxx ; j *= prime[i] )//被抵消，所以a[i]是减
            for( long long k = 1 ; k * j <= maxx ; k ++ ){
                long long l = k * j , c = min( 1ll * maxx ,  l + j - 1  );
                a[i] -= ( s[c] - s[l-1] ) * k;
            }
    }
    long long ans = 1;
    for( int i = 1 ; i <= pn ; i ++ ){
        ans = ans * qpow( prime[i] , a[i] ) % t;//快速幂，别忘了模t
    }
    printf( "%lld" , ans );
    return 0;
}