显然,i->ix(mod m)连一条边,则最终一定会形成若干个环,并且,环上每个点与m的gcd值必定相同。并且,gcd值相同的环大小也一定相同。
所以,如果能算出对于所有数中,与m的gcd为d的个数 f ( d ) f(d) f(d),并算出相应的当gcd为d时的每个环的大小 l ( d ) l(d) l(d),那么答案就是 ∑ f ( d ) l ( d ) \sum \frac {f(d)} {l(d)} ∑l(d)f(d)
很容易发现, f ( d ) = φ ( m d ) f(d)=\varphi(\frac m d) f(d)=φ(dm)(就是欧拉函数的定义)
并且,由于l(d)是满足 x l ( d ) ≡ 1 ( m o d m d ) x^{l(d)}\equiv 1(mod\ \frac m d) xl(d)≡1(mod dm)的最小正整数,所以 l ( d ) ∣ φ ( m d ) l(d)|\varphi(\frac m d) l(d)∣φ(dm),可以先枚举每一个d,计算相应的 φ ( m d ) \varphi(\frac m d) φ(dm)。
然后枚举 φ ( m d ) \varphi(\frac m d) φ(dm)的每个质因数,依次试着除下去即可(每次除之前先判断能否满足)。
#include
#include
#include
#include
#include
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
void get_prim(ll x,ll prim[],int &top){
top=0;
for(ll i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
prim[++top]=i;
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x!=1)
prim[++top]=x;
sort(prim+1,prim+1+top);
}
void get_fac(ll x,ll fac[],int &top){
top=0;
for(ll i=1;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
fac[++top]=i;
if(i*i!=x)
fac[++top]=x/i;
}
}
sort(fac+1,fac+1+top);
}
ll mul(ll x,ll y,ll mod){
ll res=(x*y-(ll)((double)x*y/mod+0.1)*mod)%mod;
if(res<0)
res+=mod;
return res;
}
ll fsp(ll x,ll y,ll mod){
x%=mod;
ll res=1;
while(y){
if(y&1ll)
res=mul(res,x,mod);
x=mul(x,x,mod);
y>>=1ll;
}
return res;
}
int tot,cnt;
ll prims[MAXN],fact[MAXN],facs[MAXN];
ll Euler(ll x){
for(int i=1;i<=tot;i++)
if(x%prims[i]==0)
x=x/prims[i]*(prims[i]-1ll);
return x;
}
ll m,x;
ll solve(){
ll eul=Euler(m);
ll res=0;
int tt=0;
if(eul>1)
get_prim(eul,fact,tt);
else
fact[++tt]=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
ll f=Euler(facs[i]);
ll l=f;
if(l>1){
for(int j=1;j<=tt;j++)
while(l%fact[j]==0&&fsp(x,l/fact[j],facs[i])==1)
l/=fact[j];
}
res=res+f/l;
}
return res;
}
int main(){
SF("%lld%lld",&m,&x);
get_fac(m,facs,cnt);
get_prim(m,prims,tot);
PF("%lld",solve());
}