【NOIP2018复习】A （数论、线性求逆元）

A

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题目描述

 HJW发明了一种神奇的排序方法。有了这个方法，对于任意数列，排序的复杂度为把该序列变从小到大排序最少交换的次数。询问对于n的任意一个排列，排序的复杂度期望。
 

输入

从文件 inverse.in 中读入数据。
输入第一行包含一个正整数 T ，表示数据组数。
对于每组数据，第一行有一个正整数n。

输出

输出到文件 inverse.out 中。
输出共 T 行，每行一个整数。
对于每组数据，输出一个整数，表示答案对 998244353 取模的结果。

输入样例复制

2
2
3

输出样例复制

499122177
166374060
当n=2，排列为{1,2}和{2,1}，交换次数为0和1，期望为1/2。
当n=3，排列为{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}，交换次数为0,1,1,2,2,1，期望为7/6。

说明

对于20%的数据，T<=10，n<=10； 对于另外20%的数据，T=1； 对于另外10%的数据，n<=10^3; 对于100%的数据，T<=10^5，n<=10^7。
 

 题解： 推导最小交换次数：将数字与最终所处位置的下标连线，得到k个环，则最小交换次数为n-k

            如 6 4 2 1 3 5                                                                 3 4 2 1 5 6
             1-4-2-3-5-6-1  最小交换 6-1=5                                      1-4-2-3-1     5-5  6-6  最小交换6-3=3
           设f[n]为n个数的期望环数量,对于f[n-1]已知，第n个数有n个空隙可以插入，且只有插入队尾可以得到一个新的环
           所以f[n]=f[n-1]+1/n;
          答案为n-sigma(1-n，1/i)
          1/i即i的逆元，根据费马小定理，在模意义下i的逆元为i^(p-2)
          因为快速幂复杂度为根号n，所以问题转化为线性求逆元
          线性求逆元公式: a[i]:=(p-(p div i))*a[p mod i]mod p             a[1]=1

const

  maxn=10000000;

  p=998244353;

var

  a,sum:array[1..maxn]of int64;

  n,i,t:longint;

procedure init;

var

  i:longint;

begin

  a[1]:=1;

  for i:=2 to maxn do

    a[i]:=(p-(p div i))*a[p mod i]mod p;

  sum[1]:=a[1];

  for i:=2 to maxn do

    sum[i]:=(sum[i-1]+a[i])mod p;

end;

begin

  init;

  readln(t);

  for i:=1 to t do

  begin

    readln(n);

    writeln((n-sum[n]+p)mod p);

  end;

end.