博弈论

取石子问题

有一种很有意思的游戏,就是有物体若干堆,可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干,规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏,别看这游戏极其简单,却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

(一)巴什博奕(Bash Game):只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。

   
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=m+1r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
   
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。
(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
   
这种情况下是颇为复杂的。我们用(akbk)(ak ≤ bk ,k=012...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(00),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(00)、(12)、(35)、(47)、(610)、(813)、(915)、(1118)、(1220)。
   
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,bk= ak + k,奇异局势有
如下三条性质:

    1
。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
   
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
    2
。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
   
事实上,若只改变奇异局势(akbk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(akbk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
    3
。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

   
假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(00);如果a = akb > bk,那么,取走b  - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak  b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > akb= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < akb= ak + k,分两种情况,第一种,a=ajj < k,从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bjj < k,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

   
从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。

   
那么任给一个局势(ab),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
    ak =[k
1+√5/2]bk= ak + k k=012...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5/2 = 1618...,因此,akbk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/1+√5=√5-1/2,可以先求出j=[a√5-1/2],若a=[j1+√5/2],那么a = ajbj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

(三)尼姆博奕(Nimm Game):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

   
这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(abc)表示某种局势,首先(000)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0nn),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(000)。仔细分析一下,(123)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0nn)的情形。

   
计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(123)的按位模2加的结果:

1 =
二进制01
2 =
二进制10
3 =
二进制11+
———————
0 =
二进制00 (注意不进位)

   
对于奇异局势(0nn)也一样,结果也是0

   
任何奇异局势(abc)都有a+b+c =0

如果我们面对的是一个非奇异局势(abc),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a+b,即可,因为有如下的运算结果: a+b+(a+b)=(a+a)+(b+b)=0+0=0。要将c 变为a+b,只要从 c中减去 c-a+b)即可。

   
1。(142139),14+21=2739-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(142127)。

   
2。(5581121),55+81=102121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(5581102)。

   
3。(294558),29+45=4858-48=10,从58中拿走10个,变为(294548)。

   
4。我们来实际进行一盘比赛看看:
        
:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
        
:(1,8,9)->(1,8,4)
        
:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
        
:(1,5,4)->(1,4,4)
        
:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
        
:(0,4,4)->(0,4,2)
        
:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
        
:(0,2,2)->(0,2,1)
        
:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
        
:(0,1,1)->(0,1,0)
        
:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
        
甲胜。

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