矩阵乘法——矩阵快速幂

矩阵乘法怎么乘

设让矩阵 $a$ 乘矩阵 $b$ 得到矩阵 $c$，那么 $c$ 的第 $i$ 行第 $j$ 个元素的值就等于 $a$ 的第 $i$ 行与 $b$ 的第 $j$ 列上对应元素相乘的和。

举个例子：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$
那么对于 $a$ 的值，就是第一个矩阵的第一行 $(1,2)$ 和第二个矩阵的第一列 $(4,2)$ 的对应元素相乘的和，也就是 $a=1\times 4+2\times 2=8$。
再比如 $c$ 的值，$c=3\times 4+4\times 2=20$
最后的结果是：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ 20& 13\end{array}\right)$$
可以看出，得到的矩阵 $c$ 的行数就是矩阵 $a$ 的行数，列数就是矩阵 $b$ 的列数。

矩阵乘法的限制

上面提到，$c$ 的每一个元素都是矩阵 $a$ 某一行与矩阵 $b$ 的某一列元素对应元素的乘积的和，那么就有一个限制，就是 $a$ 的行要能与 $b$ 的列相对应，换句话说，$a$ 的列数与 $b$ 的行数要相同，否则是做不了矩阵乘法的。

矩阵乘法的性质

矩阵乘法不满足交换律，这个比较显然。

但是结合律和分配律还是满足的。（想想就明白了）

其他东西

矩阵乘法，其实也可以理解为向量乘向量，矩阵 $a$ 乘矩阵 $b$，可以将 $a$ 的每一行视为一个向量，这个向量的维度就是 $a$ 的列数，$b$ 的每一列是一个向量，维度为 $b$ 的行数，$ab$ 相乘得到的矩阵 $c$ 其实就是 $a$ 和 $b$ 包含的向量两两的点积，所以要求 $a$ 的列数与 $b$ 的行数相同。

据说矩阵是为了给线性方程组一个更方便的表示方法，假如有这样一个线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-y=1\end{array}$$
用矩阵表示就是这个样子：
$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$$

用处：

可以用来加速方程的递推。

很经典的，$fibonacci$ 数列，$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$，那么发现要得出下一项的值的话只需要前两个数即可，那么可以先搞出下面这个矩阵：
$$\left(\begin{array}{c}f(x-1)\\ f(x-2)\end{array}\right)$$
那么，我们下一步，就是要把这个矩阵变成下面这个矩阵：
$$\left(\begin{array}{c}f(x)\\ f(x-1)\end{array}\right)$$
很显然，只需要让这个矩阵乘上原来的矩阵即可：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
计算过程：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}f(x-1)\\ f(x-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}f(x)\\ f(x-1)\end{array}\right)$$

那么，要求 $f(n)$ 的话，只需要让 $\left(\begin{array}{c}f(2)\\ f(1)\end{array}\right)$被乘 $n-2$ 次 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 即可。
又因为，矩阵乘法满足结合律，所以可以使用快速幂。
于是，用快速幂求出 ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{n-2}$ 然后再乘上 $\left(\begin{array}{c}f(2)\\ f(1)\end{array}\right)$ 即可。
代码：

#include 
#include 
#define ll long long
#define mod 1000000007ll

struct matrix{
    int w,h;
    ll a[10][10];
    matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    matrix operator *(matrix x)
    {
        matrix re;re.h=h;re.w=x.w;
        for(int i=1;i<=re.h;i++)
        for(int j=1;j<=re.w;j++)
        for(int k=1;k<=w;k++)
        re.a[i][j]+=a[i][k]*x.a[k][j],re.a[i][j]%=mod;
        return re;
    }
};

ll n;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    ll m=n-2;
    matrix a,b;
    a.w=1;a.h=2;
    a.a[1][1]=1;
    a.a[2][1]=1;
    b.w=2;b.h=2;
    b.a[1][1]=b.a[1][2]=b.a[2][1]=1;
    matrix ans;ans.w=-1;
    while(m>0)//快速幂
    {
        if(m%2==1)
        {
            if(ans.w==-1)ans=b;
            else ans=ans*b;
        }
        b=b*b;
        m/=2;
    }
    if(n<3)printf("1");
    else printf("%lld\n",(ans*a).a[1][1]);
}

例题

【XR-1】分块 题解