考研数学伽马函数

伽玛函数作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的方程，通常写成（图1）。

图1

当方程的变量是正整数时，方程的值就是正整数的阶乘。在考研数学中，我们经常会利用伽马函数解一些常见的积分，尤其是在概率的题目中应用广泛。比如我们知道积分（图2）。

图2

但是如果遇到了（图3-4），这就比较复杂了。

图3

图4

幸好我们有伽马函数这一神器，遇到上述积分简直是小菜一碟。在考场上，当你的对手还在拼命做变量代换、计算的焦头烂额的时候，你闲庭信步地口头背了一下公式，嗯，这个是（图5），嗯，这个是（图6）。瞬间秒杀掉你的对手。

图5

图6

那么，下面我们就一起来领略伽马函数的神奇风采。

首先，伽马函数的形式是这样的（图7-8）：

图7

图8

然后，这是我们常用的几个数值（图9-11）：

图9

图10

图11

接下来这张表（表1）就是我们为同学们精心整理的，常见的可用伽马函数计算的函数积分值。

表1

对于学有余力的同学，建议把这个表收藏下来，反复的看直到背下来。在以后的做题中，当你遇到这些函数积分的时候，就能回想这些积分值，直接带入，迅速解题。考研数学就是在巩固基础的前提下，不断提高自己在这些边角料问题上的计算速度和准确度，以达到别人眼中高分学霸级的水平。对于下面的推导过程，也是比较基础的计算，建议同学们有时间的话一定要看一遍，一定要知其然并且知其所以然。

【注】推导过程：