牛顿二项式定理
二项式系数：
对于实数 n n n和整数 k k k
( k n ) = ∑ i = 0 k − 1 ( r − i ) k ! , k > = 1 \binom{k}{n} = \frac{\sum_{i=0}^{k-1}(r-i)}{ k! } , k >=1 (nk)=k!∑i=0k−1(r−i),k>=1
对于 k = 0 k=0 k=0二项式系数为1，
对于 k < = − 1 k<=-1 k<=−1二项式系数为0。
牛顿二项式定理：
对于 0 < = ∣ x ∣ < ∣ y ∣ 0<=|x|<|y| 0<=∣x∣<∣y∣
( x + y ) n = y n ( x y + 1 ) n = y n ∑ i = 0 ∞ ( i n ) ( x y ) i = ∑ i = 0 ∞ ( i n ) x i y n − i \begin{aligned}(x+y)^n&=y^n(\frac xy+1)^n\\ &=y^n\sum_{i=0}^{\infty} \binom{i}{n}\left(\frac xy\right)^i\\ &=\sum_{i=0}^{\infty} \binom in x^iy^{n-i} \end{aligned} (x+y)n=yn(yx+1)n=yni=0∑∞(ni)(yx)i=i=0∑∞(ni)xiyn−i
前提条件是为了收敛。
如果是纯数字计算如计算 n 3 \sqrt[3]{n} 3n
需要考虑收敛：
n 3 = ( 1 + n − 1 ) 1 3 = ∑ i = 0 ∞ ( i 1 3 ) ( n − 1 ) n − i \sqrt[3]{n} = (1 + n-1)^{\frac 13} = \sum_{i=0}^{\infty}\binom i{\frac 13}(n-1)^{n-i} 3n=(1+n−1)31=i=0∑∞(31i)(n−1)n−i
好吧收敛好像还是有点慢。(废)
但如果是形式幂级数那就可以不用管收敛直接玩了。
比如：
卡特兰数： C i = ∑ j = 0 i − 1 C j C i − j − 1 C_i = \sum_{j=0}^{i-1} C_jC_{i-j-1} Ci=∑j=0i−1CjCi−j−1
定义它的生成函数 f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ C i x i f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} C_ix^i f(x)=∑i=0∞Cixi
f ( x ) = f 2 ( x ) x + 1 f(x) = f^2(x)x+1 f(x)=f2(x)x+1
f 2 ( x ) x − f ( x ) + 1 = 0 f^2(x)x-f(x)+1=0 f2(x)x−f(x)+1=0
f ( x ) = 1 − 1 − 4 x 2 x f(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x} f(x)=2x1−1−4x
考虑对 1 − 4 x \sqrt{1-4x} 1−4x二项式定理暴力展开
( 1 − 4 x ) 1 2 = ∑ i = 0 ∞ ( i 1 2 ) ( − 4 x ) i (1-4x)^{\frac 12} = \sum_{i=0}^{\infty}\binom{i}{\frac 12}(-4x)^i (1−4x)21=i=0∑∞(21i)(−4x)i
而 ( i 1 2 ) = 1 2 ⋅ − 1 2 ⋅ − 3 2 . . . 3 − 2 i 2 1 ⋅ 2... ⋅ i = 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 3 ) . . . ( 3 − 2 i ) 1 ⋅ 2... ⋅ i ⋅ 2 i \binom{i}{\frac 12}=\frac{\frac 12\cdot \frac {-1}2 \cdot \frac{-3}2...\frac {3-2i}2}{1\cdot2...\cdot i}=\frac{1\cdot {(-1)} \cdot {(-3)}...{(3-2i)}}{1\cdot2...\cdot i\cdot 2^{i}} (21i)=1⋅2...⋅i21⋅2−1⋅2−3...23−2i=1⋅2...⋅i⋅2i1⋅(−1)⋅(−3)...(3−2i)
为了凑组合数，上下同时乘以 ( i − 1 ) ! (i-1)! (i−1)!
( i 1 2 ) = ( − 1 ) i − 1 2 i − 1 ( i ! ) 1 ⋅ ( 1 ) ⋅ ( 3 ) . . . ( 2 i − 3 ) 2 2 i − 1 ∗ ( i ! ) ∗ ( i ! ) = ( − 1 ) i − 1 ( 2 i − 2 ) ! 2 2 i − 1 i ( i − 1 ) ! ( i − 1 ) ! = ( − 1 ) i − 1 i 2 2 i − 1 ( i − 1 2 i − 2 ) \binom{i}{\frac 12}=\frac{(-1)^{i-1}2^{i-1}(i!)1\cdot {(1)} \cdot {(3)}...{(2i-3)}}{2^{2i-1}*(i!)*(i!)}=\frac{(-1)^{i-1}(2i-2)!}{2^{2i-1}i(i-1)!(i-1)!}=\frac{(-1)^{i-1}}{i2^{2i-1}}\binom{i-1}{2i-2} (21i)=22i−1∗(i!)∗(i!)(−1)i−12i−1(i!)1⋅(1)⋅(3)...(2i−3)=22i−1i(i−1)!(i−1)!(−1)i−1(2i−2)!=i22i−1(−1)i−1(2i−2i−1)
原 式 = 1 − ∑ i = 0 ∞ − ( i − 1 2 i − 2 ) i x i 2 x 原式 =\frac {1-\sum_{i=0}^{\infty}-\frac{\binom{i-1}{2i-2}}{i}x^i}{2x} 原式=2x1−∑i=0∞−i(2i−2i−1)xi
x n x^n xn的系数为 C n = ( n 2 n ) n + 1 C_n = \frac{\binom{n}{2n}}{n+1} Cn=n+1(2nn)
这要不是知道结论，谁凑系数会去凑阶乘啊。。。。。。
然后许多生成函数的题都可以这样推出来O(1)算答案。（所以高精成了第二大考点）
比如说:BZOJ 3028: 食物