浅谈群论

群指qq群，U群，L群，LG群等

一下大量内容参考神仙yyc的blog

群论概念和基本性质

一些定义：

代数系统: 由若干元素组成的集合，在上面定义 一元/二元…运算，要求运算必须是封闭的.
群: 由若干元素组成的集合,在上面定义二元运算*,满足 封闭性 结合律 存在单位元 存在逆元，则称G在*运算下是个群（运算一般叫乘法）
置换群： 由若干个置换组成的群，定义乘法为先做前一个置换，再做后一个置换。显然成群。这里记作$G$
元素集： 置换用的元素集合。
等价类： 是一个由元素构成的集合，元素之间可以通过置换互相得到。 一般在题目中就是一堆本质相同的方案，题目要求的也是等价类的个数。元素$k$的等价类写作$E_k$. $E_k\subseteq \Omega$
不动置换类： 所有无法移动元素$k$的置换组成的集合。$k$就是这些置换的不动点。 令元素$k$的不动置换类为$Z_k$, 显然$Z_k\subseteq G$,也可以证明$Z_k$自己也是个群，即$Z_k$是$G$的一个子群。
不动点： 置换$p$下不动点的个数记作$c(p)$

一些性质&引理

$$当x,y属于同一个等价类时，|Z_x|=|Z_y|$$
这个显然吧
轨道-稳定化子定理：$$|E_k||Z_k|=|G|$$
证明直接搬神仙yyc的了，网上大多都是这么证的

Burnside引理

$$等价类个数l=\frac{1}{|G|}\sum c(p_i)$$
$$人话:等价类个数=每个值换下不动点个数的和的平均数$$

证明:
看神仙yyc的blog吧

Pólya定理

但是一般题目不动点个数并不是那么好求，可以考虑每个置换的轮换环数，每个轮换环的颜色必须相等，所以$$等价类个数l=\frac{1}{|G|}\sum m^{c1(p_i)},c1(p_i)表示p_i置换的轮换环数$$
然后就莫得了

丢个例题 luogu P4980 【模板】Pólya 定理

直接套式子， 发现置换环的个数是$n^{n/gcd(n,i)}$个，
$$ans=\sum _{i=0}^n{n}^{n/gcd(n,i)}=\sum _{i=0}^n{n}^{gcd(n,i)}$$

// luogu-judger-enable-o2
#include
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll qpow(ll x, ll y){
	ll ret = 1;
	for(;y; y >>= 1, x = x * x % mod) if(y & 1) ret = ret * x % mod;
	return ret;
}
ll phi(int x){
	ll ret = x;
	for(int i = 2; i * i <= x; i ++) if(x % i == 0){
		ret = ret / i * (i - 1);
		while(x % i == 0) x /= i;
	}
	if(x > 1) ret = ret / x * (x - 1);
	return ret;
}
int n, t;
int main(){
	scanf("%d", &t);
	while(t --){
		scanf("%d", &n);
		ll ans = 0;
		for(int i = 1; i * i <= n; i ++) if(n % i == 0){
			if(i * i != n) ans += qpow(n, n / i) * phi(i) % mod;
			ans += qpow(n, i) * phi(n / i) % mod;
			ans %= mod;
		}
		printf("%lld\n", ans * qpow(n, mod - 2) % mod);	
	}
	return 0;
}

练习题
luogu P4128 [SHOI2006]有色♂图
luogu P4727 [HNOI2009]图的同构记数