Chapter5——定积分

1. 定积分的概念

1.1 定义

设函数 在有界闭区间上有定义，在区间内任意加入个分点，分为个小区间。记这些小区间为，小区间的长度为，任取,作乘积(微矩形的面积 ),记和为，记，若当时，存在为，且与分法无关，则称函数在上可积，是其定积分，记为

1.2 可积的必要条件

设函数在上可积，则在上有界。

1.3 可积的充分条件

设函数在上满足下列条件之一，则在上可积

• 单调有界
• 连续
• 有界，且只有有限个第一类间断点

1.4 几何意义

定积分的大小是函数与轴围成的面积的代数和

2. 定积分的性质

2.1 区间可加性

2.2 估值定理

设在可积，且有最大值和最小值,则

2.3 积分中值定理

设在上连续，在上不变号，则在上至少存在一点，使得

推论：若在上连续，则

几何意义：

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即在内，至少存在一条直线能够分割曲线，使得以直线为轴，轴上和轴下的面积相同。

3. 微积分基本定理

牛顿-莱布尼茨公式：设函数在闭区间上连续，是在的原函数，则有