C. Lucky Days 题解（cf）（裴蜀定理思想）

题目链接：bang

题意：给出两组 l, r，t 表示 在区间 [ l+k*t , r+k*t ] (k属于非负整数）内是幸运的，问两组最多连续幸运天数是多少天？

先给出裴蜀定理的概念，参考百度百科。

对任意两个整数a、b设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax + by = m

有整数解（x,y）当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。

我们可以用拓展欧几里得求整数解（x，y）。

 

题解：要想使两组连续幸运天数尽可能的多，那就要想办法两组幸运区间要尽量对齐，那么我们就以右边界尽量对齐为基准，

给出两个区间 [la,ra]和 [lb,rb] （设ram*gcd (m=(rb-ra)/gcd)，相应的la也是加上同样的。为什么可以这样直接加呢？按道理不是应该加上 ta*k的吗？不急，我先给个样例：

4 6 12 和 11 13 18 ，按上面的方法，gcd=6，m=1，那么第一个区间靠近第二个区间就差6了，第一个区间加完（13-6)/6*6=6后就变成 [10,12] ,那么此时连续天数是2天，咦？

怎么能加6呢？应该是加12*k的啊？我来解释一下，第一个区间加完后[10,12]与第二个区间[11,13]的状态一定会存在，状态如下图所示：

  就是说会在之后的某个区间，这里其实就是 [64,66]（12*5）(加的值） 和 [65,67] （18*3)这两个区间，而这里12*5-18*3=6的，刚好是我们把第一个区间[4,6]变成[10,12]的m*gcd=6的值，那么这说明上面的方法是正确的。其实也就是看看 12*x+18*y=6 有没有整数解，因为 gcd(12,18)|6,根据裴蜀定理，一定有整数解。所以以后我们只需加上m*gcd就行了，因为ta*x+tb*y=m*gcd，而gcd(ta,tb)|m*gcd,故一定有整数解。

 

代码参考链接如下：https://blog.csdn.net/SwustLpf/article/details/84064459

#include
#include
#include

using namespace std;

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

int solve(int a,int b,int x,int y){ ///计算两个区间公共的数

    return min(b,y)-max(a,x)+1;
}

int main()
{
    int la,ra,ta,lb,rb,tb;

    while(~scanf("%d%d%d%d%d%d",&la,&ra,&ta,&lb,&rb,&tb))
    {

        la++,ra++,lb++,rb++;

        int item=gcd(ta,tb); 

        if(ta==tb){ ///两个区间已经最靠近了，故直接算就行了
            printf("%d\n",solve(la,ra,lb,rb));
            continue;
        }
        int m,ans;
        if(ra<=rb){
             m=(rb-ra)/item;
            la+=m*item;
            ra+=m*item;
             ans=0; ///注意此处初始化为0,
             
///因为我们加的不一定刚好对齐，只需在不超过(尽量靠近）另一个区间和超过（尽量靠近）另一个区间之间选一个最大值就好了
            
            ans=max(ans,solve(la,ra,lb,rb)); 

            ans=max(ans,solve(la+item,ra+item,lb,rb));
        }
        else{
             m=(ra-rb)/item;
            lb+=m*item;
            rb+=m*item;
             ans=0;

            ans=max(ans,solve(la,ra,lb,rb));

            ans=max(ans,solve(la,ra,lb+item,rb+item));
        }

        printf("%d\n",ans);
    }
}