01背包及滚动数组优化（一维）

01背包问题

• 有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
• 第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
• 求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

• 第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
• 接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

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代码

其中，初始化的部分也可以不写，因为数组定义在main函数外面，自动初始化为0了

#include
#define maxn 1010
#define max(a,b) a>b?a:b
int v[maxn],w[maxn];//v[i],w[i]分别表示第i件物品的体积和价值。
int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示前i件物品，体积刚好为j时最大价值。 
int main()
{	
	int n,V;//n为物品数量，v为背包容积 
	scanf("%d%d",&n,&V);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)
	dp[i][0]=0;					//边界条件 
	for(int i=0;i<=V;i++)
	dp[0][i]=0; 				//边界条件 
	for(int i=1;i<=n;i++)		//i表示前i件 
	{
		for(int j=1;j<=V;j++)	//j表示体积刚好为j 
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=v[i])
			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	int sum=0;
	for(int j=1;j<=V;j++)
	{
		sum=max(dp[n][j],sum);
	}
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}

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对于01背包问题，需要dp[n][v]数组，即需要n*m大小的空间，如果遇到较大的数据就会被善良的出题人卡掉，那么如何进行优化呢？

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#include
#define maxn 1010
#define max(a,b) a>b?a:b
int v[maxn],w[maxn];//v[i],w[i]分别表示第i件物品的体积和价值。
int dp[maxn];//dp[i][j]表示前i件物品，体积刚好为j时最大价值。 
int main()
{	
	int n,V;//n为物品数量，v为背包容积 
	scanf("%d%d",&n,&V);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)		//i表示前i件 
	{
		for(int j=V;j>=v[i];j--)	//j表示体积刚好为j 
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	int sum=0;
	for(int j=1;j<=V;j++)
	{
		sum=max(dp[j],sum);
	}
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}

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是不是很神奇，只需要把第一维全部砍掉，再把j的范围改为从后往前，j–。是什么原理呢

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原理（滚动数组）

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dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])

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注意到这个二维数组的下一行的值，只用到了上一行的正上方和左边的值，因此可用滚动数组的思想，只要一行即可。

既然是要用正上方和左边的值，那么从右边开始依次求值，并覆盖在正上方的位置即可

01背包问题题目链接