QR分解之HouseHolder变换

QR分解

一个矩阵的QR分解（QR decomposition）(QR factorization)是将矩阵分解成 A=QR ，其中Q是一个正交矩阵（ QTQ=I ），R是上三角矩阵。

HouseHolder变换

HouseHolder变换可以将一个向量映射到一个超平面上。
HoulseHolder矩阵
P=I−2vvT , I 是单位矩阵， v 是单位正交矩阵， vvT=I
HouseHolder矩阵有如下性质：

- 对称： P=PT
- 正交： P−1=PT
- xx： P2=I

变换
x 是一个任意的m维列向量， ||x||=|α| ，如果算法是使用浮点运算实现的，那么 α 应该和 x 的第k值符号相反来防止抵消， xk 是变换后的主轴坐标，其他元素都为0。

α=−esgn(xk)||x||

e1 是一个m维向量 (0,ek=0,…,0) ， I 是 m×m 的单位矩阵，

u=x+αe1

v=u||u||

P=I−2vvT=I−2uuTuTu

example
向量 a=(12,6,−1)T ，我们选择 a1 为变换后的主轴坐标
|α|=||a|| ，因为 a1 的符号为+，所以 α=−||a||=−14 ， e1=(1,0,0)T

u=a−αe1=(−2,6,−4)T

P=I−2uuTuTu=⎛⎝⎜6/73/7−2/73/7−2/76/7−2/76/73/7⎞⎠⎟

Px=(14,0,0)T

同样的，还可以选择 a2 为主轴，变换得到的结果是 (0,14,0)T