bzoj 2655: calc dp+拉格朗日插值法

题意

一个序列a1,…,an是合法的，当且仅当：
长度为给定的n。
a1,…,an都是[1,A]中的整数。
a1,…,an互不相等。
一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a1a2…an。
求所有不同合法序列的值的和。
两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。
输出答案对一个数mod取余的结果。
A<=10^9,n<=500，mod<=10^9,并且mod为素数，mod>A>n+1

分析

首先考虑最简单的dp式：设f[i,j]表示前i个正整数里选了j个的方案和。显然有f[i,j]=f[i-1,j]+f[i-1,j-1]*i。
f[i,j]其实是一个关于i的次数为2j的多项式（然而我还不会证明，如果有大佬会的话麻烦告诉我）。那么我们就可以求出f[i,n] (1<=i<=n*2+1)，然后根据拉格朗日插值法，答案就是 n!∗∑i=12n+1f[i,n]∗∏j=1,j!=i2n+1A−ji−j ，直接算即可。

代码

#include
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#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=1005;

int x,n,MOD,f[N][N],pre[N],suf[N],inv1[N],inv2[N];

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&x,&n,&MOD);
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n*2+1;i++)
    {
        f[i][0]=f[i-1][0];
        for (int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=(f[i-1][j]+(LL)f[i-1][j-1]*i)%MOD;
    }
    pre[0]=suf[n*2+2]=1;
    for (int i=1;i<=n*2+1;i++) pre[i]=(LL)pre[i-1]*(x-i)%MOD;
    for (int i=n*2+1;i>=1;i--) suf[i]=(LL)suf[i+1]*(x-i)%MOD;
    inv1[0]=inv2[0]=1;
    for (int i=1;i<=n*2+1;i++) inv1[i]=(LL)inv1[i-1]*ksm(i,MOD-2)%MOD,inv2[i]=(LL)inv2[i-1]*ksm(-i,MOD-2)%MOD;
    LL ans=0;
    for (int i=1;i<=n*2+1;i++) (ans+=(LL)f[i][n]*pre[i-1]%MOD*suf[i+1]%MOD*inv1[i-1]%MOD*inv2[n*2+1-i])%=MOD;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=(LL)ans*i%MOD;
    ans+=ans<0?MOD:0;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}