bzoj3817: Sum【类欧几里得算法】

题目大意：

给出 T≤1e4 T ≤ 1 e 4 组询问，对于每组询问，给定 n≤1e9,R≤1e4 n ≤ 1 e 9 , R ≤ 1 e 4 ，求：

∑i=1n(−1)⌊iR√⌋ ∑ i = 1 n ( − 1 ) ⌊ i R ⌋

解题思路：

设 r=R−−√ r = R ，则 ⌊ir⌋ ⌊ i r ⌋ 为奇数时为-1，为偶数时为1，又有：

⌊x⌋−2⌊x2⌋=⎧⎩⎨1,⌊x⌋%2=10,⌊x⌋%2=0 ⌊ x ⌋ − 2 ⌊ x 2 ⌋ = { 1 , ⌊ x ⌋ % 2 = 1 0 , ⌊ x ⌋ % 2 = 0

所以：

ans=∑i=1n(1−2(⌊ir⌋−2⌊ir2⌋))=n−2∑i=1n⌊ir⌋+4∑i=1n⌊ir2⌋ a n s = ∑ i = 1 n ( 1 − 2 ( ⌊ i r ⌋ − 2 ⌊ i r 2 ⌋ ) ) = n − 2 ∑ i = 1 n ⌊ i r ⌋ + 4 ∑ i = 1 n ⌊ i r 2 ⌋

那么如何求形如 f(k,n)=∑i=1n⌊ki⌋ f ( k , n ) = ∑ i = 1 n ⌊ k i ⌋ 呢？
还是用类欧几里得的方法：

当 k≥1，f(k,n)=f(k−⌊k⌋,n)+⌊k⌋n(n+1)/2 k ≥ 1 ， f ( k , n ) = f ( k − ⌊ k ⌋ , n ) + ⌊ k ⌋ n ( n + 1 ) / 2

当 k<1 k < 1 ， f(k,n)=∑i=1n∑j=1m[ki≥j],m=⌊kn⌋ f ( k , n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ k i ≥ j ] , m = ⌊ k n ⌋
注意这里与普通类欧的不同，这里 k k 是小数，所以 ki≥j k i ≥ j 并不等价于 ki>j−1 k i > j − 1 ,但当 j/k j / k 不是整数时等价于 i>⌊j/k⌋ i > ⌊ j / k ⌋ ，所以当 r r 为整数时我们直接计算，只讨论 r r 为无理数的情况：

f(k,n)=∑i=1n∑j=1m[i>⌊j/k⌋] f ( k , n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m [ i > ⌊ j / k ⌋ ]
f(k,n)=∑j=1m(n−⌊j/k⌋) f ( k , n ) = ∑ j = 1 m ( n − ⌊ j / k ⌋ )
f(k,n)=nm−f(1k,m) f ( k , n ) = n m − f ( 1 k , m )
一直递归，当 n=0 n = 0 时返回0，复杂度据说是 O(log) O ( l o g ) 的，但我并不会证……
（就是 n=kn,k=1k−1 n = k n , k = 1 k − 1 一直递归的复杂度）

注意不能斜率不能用double，会卡精，要用 k=ar+bc k = a r + b c 的形式维护整形三元组 (a,b,c) ( a , b , c ) 才行，就两个操作，取小数部分和取倒数：

取小数： ar+bc−k=ar+b−kcc,k=⌊ar+bc⌋ a r + b c − k = a r + b − k c c , k = ⌊ a r + b c ⌋

取倒数： car+b=c(ar−b)(ar+b)(ar−b)=acr−bca2R−b2 c a r + b = c ( a r − b ) ( a r + b ) ( a r − b ) = a c r − b c a 2 R − b 2

迭代即可。

#include
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();c!='-'&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
ll n,R;
double r;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll f(ll a,ll b,ll c,ll n)
{
    if(!n)return 0;
    ll g=gcd(a,gcd(b,c));
    a/=g,b/=g,c/=g;
    ll tmp=(a*r+b)/c; 
    b-=tmp*c,tmp*=n*(n+1)/2;
    ll m=(a*r+b)*n/c;
    return m*n+tmp-f(a*c,-b*c,a*a*R-b*b,m);
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    for(int T=getint();T;T--)
    {
        n=getint(),R=getint(),r=sqrt(R);
        int x=r;
        if(x*x==R)printf("%d\n",(x&1)?((n&1)?-1:0):n);
        else printf("%d\n",n-2*f(1,0,1,n)+4*f(1,0,2,n));
    }
    return 0;
}