两个矩阵相加后求逆

如何计算两个矩阵相加后求逆

求解矩阵$(A+B)$的逆

   这里用增广阵和矩阵变换求解，假设A,B矩阵都可逆
$$A+B|E$$
  左乘$A^{-1}$ :
$$E+A^{-1}B|A^{-1}$$
  在左边矩阵里提取出一个B ，得到：
$$(B^{-1}+A^{-1})B|A^{-1}$$
  然后两边左乘$(B^{-1}+A^{-1})$的逆
$$B|(B^{-1}+A^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}$$
  再左乘B的逆
$$E|B^{-1}(B^{-1}+A^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}$$
  这就得到了常见的版本：
$$(A+B{)}^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}$$
  如果改变代入A，B逆的顺序还可以得到其他不同的结果。

矩阵$(A+x{y}^T)$的逆

   该公式详见于Broyden的拟牛顿法文章中，Householder公式指出如果A是$n\times n$非奇异矩阵，x，y是$n\times 1$的向量，如果$A+x{y}^{-T}$是非奇异的，那么
      $$(A+x{y}^T{)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}x{y}^T{A}^{-1}}{1+y^T{A}^{-1}x}$$
  这个是Sherman-Morrison公式，详细证明方式参见其他文章
https://blog.csdn.net/jclian91/article/details/80254568
对其进行验证：
$(A+x{y}^{-T})(A^{-1}-\frac{A^{-1}x{y}^T{A}^{-1}}{1+y^T{A}^{-1}x})$

$=E+x{y}^T{A}^{-1}-\frac{x{y}^T{A}^{-1}}{1+y^T{A}^{-1}x}--\frac{x{y}^T{A}^{-1}x{y}^T{A}^{-1}}{1+y^T{A}^{-1}x}$ (注意，$y^T{A}^{-1}x$是一个数）

$=E+\frac{x{y}^T{A}^{-1}-x{y}^T{A}^{-1}+y^T{A}^{-1}xx{y}^T{A}^{-1}-y^T{A}^{-1}xx{y}^T{A}^{-1}}{1+y^T{A}^{-1}x}$

$=E$

结束语

本文写于偶然学习拟顿法时，见到这两个公式，苦思不得，只能记推导公式于此，望各位看过有所收获