2018 ACM-ICPC南京赛区网络预赛 J.Sum(线性筛+思维)

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题目描述

A square-free integer is an integer which is indivisible by any square number except $1$. For example, $6=2\cdot 3$ is square-free, but $12=2^2\cdot 3$ is not, because $2^2$ is a square number. Some integers could be decomposed into product of two square-free integers, there may be more than one decomposition ways. For example, $6=1\cdot 6=2\cdot 3=3\cdot 2$, $n=ab$ and $n=ba$ are considered different if $a̸=b$ . $f(n)$ is the number of decomposition ways that $n=ab$ such that $a$ and $b$ are square-free integers. The problem is calculating ${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$.

Input

The first line contains an integer $T(T\le 20)$, denoting the number of test cases.

For each test case, there first line has a integer $n(n\le 2\cdot 10^7)$.

Output

For each test case, print the answer ${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

Hint

${\sum }_{i-1}^{8}f(i)=f(1)+f(2)+\cdots +f(8)$

$=1+2+2+1+2+4+2+0=14.$

样例输入

2
5
8

样例输出

8
14

题目大意

将一个整数$m$分解为两个整数的乘积$a\cdot b$，并且满足$a,b$不能被任意一个平方数整除，求整数$n$的划分种数。

解题思路

读完题目就应该想到整数的划分，根据整数唯一划分原则，任何一个整数都可以分解为其质因子的乘积，并且形式唯一，即$m=p_1^a\cdot p_2^b\cdots p_n^z$。如果分解结果中存在某一个指数$\ge 3$，那么这个数$m$一定不是无方形整数，反之，分解方式的个数为$2^k$(其中$k$为指数中为$1$的个数)。思路是这样，但是这道题对每一个整数都进行质因子分解时时间复杂度为$O(nsqrt(n))$，会$tle$，所以要用到欧拉筛(线性筛)。

• 若$p$为素数，那么$f(p)=2$

• 若$p$%$prim[j]==0$且$p$%$(prim[j]\times prim[j])==0$，说明$p\times prim[j]$中有$prim[j]$的指数为$3$，那么$f(p\times prim[j])=0$，若$p$%$prim[j]==0$，此时说明$p$$\times prim[j]$中$prim[j]$的指数为$2$，那么$prim[j]$的加入对$p\times prim[j]$的分解方式没有影响，即$f[p\times prim[j]]=f[p/prim[j]]$或者$f[p\times prim[j]]=f[p]/2$。

• 否则，$f[p\times prim[j]]=f[p]\times 2$。

用欧拉筛的巧处是每一个点只会被计算一次，同时在计算$p\times prim[j]$中，不需要去关心$j$是怎样的一个数，$prim[j]$中的值到底是多少。

AC代码

#include 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f
#define mod 10000019
using namespace std;
const int Max_N=2e7+10;
typedef pair<int,int>P;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
bool is_prime[Max_N];
ll f[Max_N];
ll sum[Max_N];
int prime[Max_N];
void getprim()
{
    f[1]=1;
    for(int i=0;i<Max_N;i++) is_prime[i]=true;
    is_prime[0]=is_prime[1]=false;
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<Max_N;i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            f[i]=2;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<Max_N;j++)
        {
            is_prime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                if(i%(prime[j]*prime[j])==0)f[i*prime[j]]=0;
                else f[i*prime[j]]=f[i/prime[j]];
                break;
            }
            f[i*prime[j]]=2*f[i];
        }
    }
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int t;
    cin>>t;
    getprim();
    for(int i=1;i<Max_N;i++)sum[i]=sum[i-1]+f[i];
    while(t--)
    {
        int n;
        cin>>n;
        cout<<sum[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

总结

如果解题需要用到整数的唯一划分原则的话，很大可能会用到欧拉筛。要学会将欧拉筛灵活的应用。