[kuangbin带你飞]专题10：匹配问题

[kuangbin带你飞]专题10：匹配问题

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1.Fire Net——HDU 1045

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题目链接

题意：
一个棋盘，其中某些区域是障碍物不能放东西，然后所放的物品必须满足不能在两者之前没有障碍物的情况下，位于同一行、或者同一列

题解：
这题我并没有用建二分图，而是直接bfs

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int n;
char mp[10][10];
int maxnum;
int check(int x,int y){
    if(mp[x][y]!='.')
        return 0;
    for(int i=x-1;i>=0;i--){
        if(mp[i][y]=='B'){
            return 0;
        }
        else if(mp[i][y]=='X'){
            break;
        }
    }
    for(int i=y-1;i>=0;i--){
        if(mp[x][i]=='B'){
            return 0;
        }
        else if(mp[x][i]=='X'){
            break;
        }
    }
    return 1;
}
void dfs(int pos,int cnt){
    if(pos==n*n){
        maxnum=max(maxnum,cnt);
        return ;
    }
    int x=pos/n;
    int y=pos%n;
    if(check(x,y)){
        mp[x][y]='B';
        dfs(pos+1,cnt+1);
        mp[x][y]='.';
    }
    dfs(pos+1,cnt);
    return ;
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        if(n==0)
            break;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%s",mp[i]);
        }
        maxnum=0;
        dfs(0,0);
        cout<<maxnum<<endl;
    }
    return 0;

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2.The Accomodation of Students——HDU 2444

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题目链接

题解：
首先判断判断是不是二分图，如果不是输出No
如果是的话，再进行二分图匹配，直接套匈牙利算法即可，

但是tle了好几次，数组开小了。。。。

代码参考的这篇博客：
https://blog.csdn.net/u014422052/article/details/43604927?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=10010;
int vis[maxn];
struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[maxn];
int n,m,tot;
int head[maxn],color[maxn],linker[maxn];
void init(){
    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v){
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}
int bfs(){
    int s,now,cnt,v;
    memset(color,-1,sizeof(color));
    queue<int>q;
    q.push(1);
    color[1]=1;
    while(!q.empty()){
        s=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[s];i!=-1;i=edge[i].nxt){
            v=edge[i].to;
            if(color[v]==-1){
                color[v]=1-color[s];
                q.push(v);
            }
            else if(color[v]==color[s]){
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int Find(int u){
    for(int j=head[u];j!=-1;j=edge[j].nxt){
        int v=edge[j].to;
        if(!vis[v]){
            vis[v]=1;
            if(linker[v]==-1||Find(linker[v])){
                linker[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        init();
        int u,v;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
        }
        if(bfs()){
            printf("No\n");
            continue;
        }
        printf("%d\n",solve());
    }
    return 0;
}

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3.Courses——HDU 1083

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题目链接

题解：
课程看成二分图一部分、学生看成二分图另一部分。
然后直接用匈牙利算法求最大匹配即可，
如果最大匹配数=课程数，则：YES
否则：NO

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=310;
int mp[maxn][maxn];
int a[maxn],vis[maxn];
int n,m;
int Find(int i){
    for(int j=1;j<=m;j++){
        if(mp[i][j]&&vis[j]==0){
            vis[j]=1;
            if(a[j]==0||Find(a[j])==1){
                a[j]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)==1){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(a,0,sizeof(a));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int num,j;
            scanf("%d",&num);
            while(num--){
                scanf("%d",&j);
                mp[i][j]=1;
            }
        }
        int ans=solve();
        if(ans==n){
            printf("YES\n");
        }
        else{
            printf("NO\n");
        }
    }
    return 0;
}

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4.棋盘游戏——HDU 1281

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题目链接

题意：
n*m的棋盘，其中只有k个位置可以放棋子。同一行或者同一列不能放“车”，题目其实有两问
1.问最多可以放多少个棋子
2.问在第1问的基础上，有多少个棋子的位置是不能改变的，如果改变第1问的结果就会改变

题解：
针对这两个问题，分别来处理：
1.直接用匈牙利算法求二分图的最大匹配即可
2.对每个已经匹配的边，先删除，然后判断最大匹配数是不是相等，如果不相等则这个位置是不能变的，结果+1；最后输入结果即可

开始一直样例都过不了，原来是在后面判断边的时候，对匹配数组没有初始化。。。。。。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=110;
int mp[maxn][maxn];
int match1[maxn],vis[maxn],match2[maxn];
int n,m,k;
int Find(int i){
    for(int j=1;j<=m;j++){
        if(vis[j]==0&&mp[i][j]){
            vis[j]=1;
            if(Find(match1[j])||match1[j]==0){
                match1[j]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    memset(match1,0,sizeof(match1));        //每次初始化
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int cas=1;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)){
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        int u,v;
        while(k--){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            mp[u][v]=1;
        }
        int num=solve();
        int ans=0;
        memcpy(match2,match1,sizeof(match1));
        for(int v=1;v<=n;v++){
            if(match2[v]==0){
                continue;
            }
            int u=match2[v];
            mp[u][v]=0;
            int x=solve();
            if(x!=num){
                ans++;
            }
            mp[u][v]=1;
        }
        printf("Board %d have %d important blanks for %d chessmen.\n",cas++,ans,num);
    }
    return 0;
}

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5.Swap——HDU 2819

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题目链接

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=110;
int mp[maxn][maxn];
int vis[maxn],match[maxn];
struct node{
    int c1,c2;
};
node a[maxn*maxn];
int n;
int Find(int i){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        if(vis[j]==0&&mp[i][j]){
            vis[j]=1;
            if(match[j]==0||Find(match[j])){
                match[j]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                scanf("%d",&mp[i][j]);
            }
        }
        int num=solve();
        if(num!=n){
            printf("-1\n");
            continue;
        }
        int t=0;
        for(int c=1;c<=n;c++){
            while(c!=match[c]){
                a[++t].c1=c;
                a[t].c2=match[c];
                swap(match[c],match[match[c]]);
            }
        }
        printf("%d\n",t);
        for(int i=1;i<=t;i++){
            printf("C %d %d\n",a[i].c1,a[i].c2);
        }
    }
    return 0;
}

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6.Rain on your Parade——HDU 2389

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题目链接

题解：
这题如果继续用匈牙利算法是肯定会tle的

于是采用Hopcroft-Karp算法，而且还必须用邻接表来存二分图

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=3010;
struct node{
    int x,y,v;
};
node a[maxn],b[maxn];
int vis[maxn],usedx[maxn],usedy[maxn];
int n,m,tot;
int dx[maxn],dy[maxn],depth,head[maxn];
struct Edge{
    int v,nxt;
}edge[maxn*maxn];
void add(int u,int v){
    edge[tot].v=v;
    edge[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}
int Find(int u){
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].v;
        if(vis[v]==0&&dx[u]==dy[v]-1){
            vis[v]=1;
            if(!usedy[v]||Find(usedy[v])){
                usedy[v]=u;
                usedx[u]=v;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
bool bfs(){
    queue<int>q;
    depth=inf;
    memset(dx,-1,sizeof(dx));
    memset(dy,-1,sizeof(dy));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!usedx[i]){
            dx[i]=0;
            q.push(i);
        }
    }
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        if(depth<dx[u]){
            break;
        }
        for(int j=head[u];j!=-1;j=edge[j].nxt){
            int v=edge[j].v;
            if(dy[v]==-1){
                dy[v]=dx[u]+1;
                if(!usedy[v]){
                    depth=dy[v];
                }
                else{
                    dx[usedy[v]]=dy[v]+1;
                    q.push(usedy[v]);
                }
            }
        }
    }
    if(depth==inf){
        return 0;
    }
    return 1;
}
void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot=0;
}
int main(){
    int cas;
    int t,x,y;
    scanf("%d",&cas);
    for(int k=1;k<=cas;k++){
        init();
        scanf("%d%d",&t,&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].v);
        }
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            for(int j=1;j<=n;j++){
                int d=(a[j].x-x)*(a[j].x-x)+(a[j].y-y)*(a[j].y-y);
                if(d<=a[j].v*t*a[j].v*t){
                    add(j,i);
                }
            }
        }
        int ans=0;
        memset(usedx,0,sizeof(usedx));
        memset(usedy,0,sizeof(usedy));
        while(bfs()){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(!usedx[i]&&Find(i)){
                    ans++;
                }
            }
        }
        printf("Scenario #%d:\n",k);
        printf("%d\n\n",ans);
    }
    return 0;
}

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7.Oil Skimming——HDU 4185

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题目链接

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=610;
char mp[maxn][maxn];
int g[maxn][maxn];
int relate[maxn][maxn];
int match[maxn],vis[maxn];
int t,n;
int temp;
int Find(int u){
    for(int v=0;v<temp;v++){
        if(vis[v]==0&&g[u][v]){
            vis[v]=1;
            if(match[v]==0||Find(match[v])){
                match[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(int i=0;i<temp;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    int cas=1;
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        getchar();
        memset(relate,0,sizeof(relate));
        memset(g,0,sizeof(g));
        temp=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%s",mp[i]);
            getchar();
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(mp[i][j]=='#'){
                    relate[i][j]=temp++;
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(mp[i][j]!='#')
                    continue;
                if(mp[i-1][j]=='#'){
                    g[relate[i][j]][relate[i-1][j]]=1;
                }
                if(mp[i+1][j]=='#'){
                    g[relate[i][j]][relate[i+1][j]]=1;
                }
                if(mp[i][j-1]=='#'){
                    g[relate[i][j]][relate[i][j-1]]=1;
                }
                if(mp[i][j+1]=='#'){
                    g[relate[i][j]][relate[i][j+1]]=1;
                }
            }
        }
        int ans=solve();
        printf("Case %d: %d\n",cas++,ans/2);
    }
    return 0;
}

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8.Antenna Placement——POJ 3020

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题目链接

题解：

最少路径点覆盖=原图点个数-新图最大匹配数

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=50;
const int maxm=15;
const int maxnum=maxn*maxm;
int mp[maxnum][maxnum];
int vis[maxnum];
int match[maxnum],newG[maxn][maxm];
char G[maxn][maxm];
int n,m,cnt;
int Find(int i){
    for(int j=1;j<=cnt;j++){
        if(vis[j]==0&&mp[i][j]){
            vis[j]=1;
            if(match[j]==0||Find(match[j])){
                match[j]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int num=0;
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            num++;
        }
    }
    return num;
}
int  main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        cnt=0;
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        memset(newG,0,sizeof(newG));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%s",G[i]);
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(G[i][j]=='*'){
                    cnt++;
                    newG[i][j]=cnt;
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(newG[i][j]>0){
                    if(i!=0){
                        if(newG[i-1][j]>0){
                            mp[newG[i][j]][newG[i-1][j]]=1;
                        }
                    }
                    if(i!=n-1){
                        if(newG[i+1][j]>0)
                            mp[newG[i][j]][newG[i+1][j]]=1;
                    }
                    if(j!=0){
                        if(newG[i][j-1]>0){
                            mp[newG[i][j]][newG[i][j-1]]=1;
                        }
                    }
                    if(j!=m-1){
                        if(newG[i][j+1]>0)
                            mp[newG[i][j]][newG[i][j+1]]=1;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n",cnt-solve()/2);
    }
    return 0;
}

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9.Strategic Game——HDU1054

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题目链接

题解：

最小点覆盖=最大匹配数

这题通过题目所给，发现用邻接表建二分图要方便很多，求最大匹配数直接用匈牙利算法即可

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1501;
const int mod=7777777;
struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[maxn*maxn];
int head[maxn],match[maxn];
bool vis[maxn];
int n,tot;
void add(int u,int v){
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].nxt=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(edge,0,sizeof(edge));
}
int Find(int u){
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
        int v=edge[i].to;
        if(vis[v]==0){
            vis[v]=1;
            if(match[v]==-1||Find(match[v])){
                match[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    memset(match,-1,sizeof(match));
    int ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    int u,v,num;
    while(~scanf("%d",&n)){
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d:(%d)",&u,&num);
            for(int j=1;j<=num;j++){
                scanf("%d",&v);
                add(u,v);
                add(v,u);             //无向图建双边
            }
        }
        printf("%d\n",solve()/2);
    }
    return 0;
}

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10.Air Raid——HDU 1151

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题目链接

题解：

看题就知道又是一道非常经典的二分图匹配问题，发现数据不大，匈牙利算法可以过，于是先把最大匹配数给求出来，与答案一比，发现：答案=顶点个数-最大匹配数

其实题目是求最小路径覆盖；
最小路径覆盖=顶点个数-最大匹配数

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=125;
const int mod=7777777;
int mp[maxn][maxn];
int match[maxn],vis[maxn];
int n,m,t;
int Find(int u){
    for(int v=1;v<=n;v++){
        if(vis[v]==0&&mp[u][v]){
            vis[v]=1;
            if(match[v]==0||Find(match[v])){
                match[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        memset(match,0,sizeof(match));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int u,v;
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            mp[u][v]=1;
        }
        int ans=solve();
        printf("%d\n",n-ans);
    }
    return 0;
}

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11.Treasure Exploration——POJ 2594

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题目链接

题解：
开始没怎么看题目，以为就是简单的最小路径覆盖，但是一交wa了，后面也是参考的别人的题解，原来是点可以重复（好吧，原谅我英文不好），然后利用图论中的Floyd算法求传递闭包（只能说绝了，我是真的没想到，感觉离散也是白学了。。。）
然后用匈牙利算法求一下最小路径覆盖即可

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const double pi=3.14159;
const int maxn=3000;
const int mod=1e3;
int mp[510][510];
int vis[510],match[510];
int n,m;
int Find(int i){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        if(vis[j]==0&&mp[i][j]){
            vis[j]=1;
            if(match[j]==0||Find(match[j])){
                match[j]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(n+m==0)
            break;
        int u,v;
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            mp[u][v]=1;
        }
        //重点
        for(int k=1;k<=n;k++){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=1;j<=n;j++){
                    mp[i][j]|=(mp[i][k]&mp[k][j]);
                }
            }
        }
        int ans=solve();
        printf("%d\n",n-ans);
    }
    return 0;
}

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12.Cat VS Dog——HDU 3829

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题目链接

题解：
乍一看，觉得就是最大独立集，但是一直没有找到突破口。
我们可以存储每个孩子喜欢的动物和不喜欢的动物，只有A喜欢的动物恰好是B不喜欢的动物时，建边，这就是建立二分图的过程

但是需要注意的是：只有一群孩子，而我们要建立二分图，也就相当于每个孩子既在左边又在右边（即：匹配了两次，最终结果需要除2）

最后：最大独立集=点数-最大匹配数（用匈牙利算法即可）

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lowbit(x) x&(-x)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const double pi=3.14159;
const int maxn=3000;
const int mod=1e3;
int mp[510][510];
int vis[510],match[510];
int n,m,p;
char like[510][10],dislike[510][10];
int Find(int i){
    for(int j=1;j<=p;j++){
        if(vis[j]==0&&mp[i][j]){
            vis[j]=1;
            if(match[j]==0||Find(match[j])){
                match[j]=i;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int solve(){
    int ans=0;
    memset(match,0,sizeof(match));
    for(int i=1;i<=p;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Find(i)){
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&p)){
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        for(int i=1;i<=p;i++){
            scanf("%s%s",like[i],dislike[i]);
        }

        //A同学喜欢的，恰好B同学不喜欢建无向图
        for(int i=1;i<=p;i++){
            for(int j=1;j<=p;j++){
                if(strcmp(like[i],dislike[j])==0||strcmp(like[j],dislike[i])==0){
                    mp[i][j]=1;
                }
            }
        }

        printf("%d\n",p-solve()/2);       //因为小孩只有一群，然而我们要假设为两群建立二分图，也就相当于匹配了两次
    }
}

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13.奔小康赚大钱——HDU 2255

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题目链接

题解：
带权的二分图最大匹配，KM算法

另写了一篇博客：
HDU 2255：奔小康赚大钱（带权二分图最大匹配-KM算法）