Mesh Saliency论文阅读

问题

判定mesh上各点的“重要程度”，这里的重要程度，基本上是指在不同尺度（分辨率）下，几何特征的重要程度。

基本思想

在求解各点的平均曲率基础上，计算该点平均曲率在邻域内的显著性。类似于二维图像中金字塔的方法，建立三维模型的金字塔。

算法

假设我们已经计算得到了三维模型每个点上的平均曲率$\mathcal{C}(v)$，以高斯函数为权重（实际上就是一个带权的邻域，但通过全局计算，避免了对邻域直接求解），取$\sigma$为高斯函数方差（或半径），按照下式计算其高斯滤波后的平均曲率$G(\mathcal{C}(v),\sigma )$：

$$G(\mathcal{C}(v),\sigma )=\frac{{\sum }_{x\in N(v,2\sigma )}\mathcal{C}(x)e^{-\Vert x-v{\Vert }^2/(2{\sigma }^2)}}{{\sum }_{x\in N(v,2\sigma )}{e}^{-\Vert x-v{\Vert }^2/(2{\sigma }^2)}}$$

通过对不同$\sigma$的选取，事实上我们建立了三维模型的高斯金字塔。对于一个给定的$\sigma$，重要程度$\mathcal{S}(v)$计算方式如下：

$$\mathcal{S}(v)=|G(\mathcal{C}(v),\sigma )-G(\mathcal{C}(v),2\sigma )|$$

显然，这和二维图像中计算特征点的方式也非常类似。

如果我们选择了多个不同的${\sigma }_i$，那么我们也可以得到不同的${\mathcal{S}}_i$。对于不同分辨率下的Saliency，我们通过加权求和得到最终的Saliency。加权的原则是，如果Saliency方差越大，权重越大，方差越小，权重越小。因此我们首先对${\mathcal{S}}_i$归一化，然后选出其中最大值$M_i$和平均值${\bar{m}}_i$，权重就是${\left(M_i-{\bar{m}}_i\right)}^2$。因此，最终的Saliency为

$$\mathcal{S}=\sum _i(M_i-{\bar{m}}_i{)}^2{\mathcal{S}}_i$$

Saliency计算非常简单，到这里就结束了，所以下面是对重要性的两个简单应用。

应用：模型简化

QSlim

首先介绍QSlim算法，然后讲Saliency如何改进QSlim算法。QSlim算法基本思想，是每次合并一组相邻的顶点，使得顶点数量越来越少。对于每一个顶点$v$，相邻平面组成的几何为$P$。遍历每一个$p\in P$，计算平面方程$ax+by+cz+d=0,a^2+b^2+c^2=1$，将四个系数表示成$p=(abcd{)}^T$。对于任何一点$x$，计算它到平面的距离为$x^{T}p{p}^{T}x$。计算它到顶点$v$邻近所有平面的距离之和，如果将$p{p}^T$写成$Q_p$，则距离和为${\sum }_p{x}^T{Q}_{p}x=x^T({\sum }_p{Q}_p)x$。将${\sum }_p{Q}_p$记做$Q_v$。

对于一对相邻的点$(v_i,v_j)$，分别计算$v_i$到以$v_j$为中心的所有面的距离，和$v_j$到以$v_i$为中心的所有面的距离，并求和，得到$v_i^T{Q}_{v_j}{v}_i+v_j^T{Q}_{v_i}{v}_j$。如果我们要合并$v_i$和$v_j$到中间的一点$\bar{v}$，则$\bar{v}$对应的距离为${\bar{v}}^T(Q_{v_j}+Q_{v_i})\bar{v}$（称之为Quadric）。对于每一条边，我们计算这一$\bar{v}$和对应的距离和，将最小距离和的那一对边进行合并。合并后，新的$Q_{\bar{v}}=Q_{v_i}+Q_{v_j}$，并更新所有会影响到的邻近的边的$\bar{v}$和Quadric值。

Saliency的改进

Saliency的改进是，包含模型特征的点不应该过早地被合并。因此，它给Quadric值之上，额外增加了一个权重项，这个权重项附带在每个顶点上，为

$$\mathcal{W}(v)=A(\mathcal{S}(v),\alpha ,\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda \mathcal{S}(v)& \text{ if }\mathcal{S}(v)>=\alpha \\ \mathcal{S}(v)& \text{ if }\mathcal{S}(v)<\alpha \end{array}$$

即如果Saliency小于某一阈值$\alpha$，则权重就是Saliency值；如果大于阈值，则表示极其关键的特征，因此需尽量不被合并，因此再额外增加一个比例系数$\lambda >1$。在原文中，作者取$\lambda =100$，$\alpha$为第30大的saliency值。

注意到这个权重是加在顶点上的，对于边$e(v_i,v_j)$，则权重为$\mathcal{W}\left(v_i\right)+\mathcal{W}\left(v_j\right)$。

原文给了一个例子，见Figure 9，可以看到，在Saliency权重下，特征得到了更好地保持。

应用：视角选择

假设在视角$v$下，能看到的部分模型表面顶点集合为$F(v)$。则对于视角下的Saliency总和$U(v)$，为

$$U(v)={\Sigma }_{x\in F(v)}\mathcal{S}(x)$$

显然，最佳视角应该是$v_m={\mathrm{argmax}}_{v}U(v)$。在Saliency算法之前，$U(v)$通常是所有可见顶点的平均曲率之和。

直接计算$v_m$会非常耗时，作者使用了梯度下降的方法，先随机选择一个视角$v(\theta ,\varphi )$，其中$\theta$和$\varphi$分别表示经度和纬度。然后搜索附近的视角，选择使Saliency和最大的一个，重复上述过程。多选几个随机初始点，重复过程。

结果显示（见Figure 11），Saliency的视角选择比直接平均曲率视角选择要更好。