2020 Multi-University Training Contest 10
Anti-hash Test
Network Test
Mine Sweeper
2020杭电多校 第十场 1003 Mine Sweeper 构造
随机生成
#include Permutation Counting
Tree Cutting
Divide and Conquer
Coin Game
I do not know Graph Theory!
Photography
Tic-Tac-Toe-Nim
Task Scheduler
每一个状态 i i i 的期望值都有如下公式对应
E i = ∑ p i j × E j + 1 E_i=\sum p_{ij}\times E_j +1 Ei=∑pij×Ej+1
其中 j j j 是状态 i i i 能够到达的所有的下一个状态
假设存在一个任务排列 { p 1 , p 2 , . . . p n } \{p_1,p_2,...p_n\} { p1,p2,...pn} 使得目标期望最小化，则存在
E 1 = ( 1 − C m − k t p 1 ) C m t p 1 × E 1 + C m − k t p 1 C m t p 1 × E 2 + 1 E_1=\cfrac{(1-C^{t_{p_1}}_{m-k})}{C^{t_{p_1}}_m}\times E_1+\cfrac{C^{t_{p_1}}_{m-k}}{C^{t_{p_1}}_m}\times E_2+1 E1=Cmtp1(1−Cm−ktp1)×E1+Cmtp1Cm−ktp1×E2+1
其中 ( 1 − C m − k t p 1 ) C m t p 1 \cfrac{(1-C^{t_{p_1}}_{m-k})}{C^{t_{p_1}}_m} Cmtp1(1−Cm−ktp1) 为选中了任意一个干坏事的人而停留在当前状态的概率（反正就是那k个人中的一个）
而 C m − k t p 1 C m t p 1 \cfrac{C^{t_{p_1}}_{m-k}}{C^{t_{p_1}}_m} Cmtp1Cm−ktp1 则是顺利进入下一个状态的概率， 1 1 1 是当前状态进入到下一个状态的代价
观察到左右同时拥有 E 1 E_1 E1 ，进一步化简得到如下公式
E 1 − E 2 = C m t p 1 C m − k t p 1 E_1-E_2=\cfrac{C^{t_{p_1}}_m}{C^{t_{p_1}}_{m-k}} E1−E2=Cm−ktp1Cmtp1
再继续推下一个状态 E 2 E_2 E2 ：
E 2 = ( 1 − C m − t p 1 − k t p 2 ) C m − t p 1 t p 2 × E 2 + C m − t p 1 − k t p 2 C m − t p 1 t p 2 × E 3 + 1 E_2=\cfrac{(1-C^{t_{p_2}}_{m-t_{p_1}-k})}{C^{t_{p_2}}_{m-t_{p_1}}}\times E_2+\cfrac{C^{t_{p_2}}_{m-t_{p_1}-k}}{C^{t_{p_2}}_{m-t_{p_1}}}\times E_3+1 E2=Cm−tp1tp2(1−Cm−tp1−ktp2)×E2+Cm−tp1tp2Cm−tp1−ktp2×E3+1
E 2 − E 3 = C m − t p 1 t p 2 C m − t p 1 − k t p 2 E_2-E_3=\cfrac{C^{t_{p_2}}_{m-t_{p_1}}}{C^{t_{p_2}}_{ {m-t_{p_1}}-k}} E2−E3=Cm−tp1−ktp2Cm−tp1tp2
到这一步应该都看出来接下来应该怎么做了：
( E 1 − E 2 ) + ( E 2 − E 3 ) + . . . . + ( E n − 1 − E n ) (E_1-E_2)+(E_2-E_3)+....+(E_{n-1}-E_n) (E1−E2)+(E2−E3)+....+(En−1−En)
E 1 − E n = C m t p 1 C m − k t p 1 + C m − t p 1 t p 2 C m − t p 1 − k t p 2 + . . . . + C m − ∑ t p i t p n C m − ∑ t p i − k t p n E_1-E_n=\cfrac{C^{t_{p_1}}_m}{C^{t_{p_1}}_{m-k}}+\cfrac{C^{t_{p_2}}_{m-t_{p_1}}}{C^{t_{p_2}}_{ {m-t_{p_1}}-k}}+....+\cfrac{C^{t_{p_{n}}}_{m-\sum t_{p_i}}}{C^{t_{p_n}}_{m-\sum t_{p_i}-k}} E1−En=Cm−ktp1Cmtp1+Cm−tp1−ktp2Cm−tp1tp2+....+Cm−∑tpi−ktpnCm−∑tpitpn
一般都令 E n = 0 E_n=0 En=0， E 1 E_1 E1 即为官方题解上的那个公式
emmmm 证明不会证，凭感觉猜的，n这个范围差点让我错过这道题
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