题解 P2260 [清华集训2012]模积和

题目背景

数学题，无背景。

题目描述

求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}j),i≠j$$
mod 19940417 的值

输入输出格式

输入格式：

两个整数n m

输出格式：

答案 mod 19940417

思路讲解

听机房dalao说好像叫快速荷叶叶变换。

推推式子吧：
$$\text{ans}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1\wedge j≠i}^m(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}j)$$
根据容斥原理，拆分成两个式子：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}j)-\sum _{i=1}^{\min (n,m)}(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)+(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)$$
根据取余的定义，我们有：

$$=\sum _{i=1}^n(n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i)\sum _{j=1}^m(m-\lfloor \frac{m}{j}\rfloor j)-\sum _{i=1}^{\min (n,m)}(n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i)(m\lfloor \frac{m}{i}\rfloor i)$$

简化一下式子，令：

$$L(n)=\sum _{i=1}^n(n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor i)$$

可数论分块求解。

于是：
$$=L(n)L(m)-\sum _{i=1}^{\min (n,m)}(nm+\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{i}\rfloor i^2-(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor +\lfloor \frac{m}{i}\rfloor )i)$$
列举出自然数幂和的前两项：
$$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
预处理出$6$的乘法逆元，再用数论分块求解就好了：

#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M = 19940417;
const ll P = 3323403;
ll n, m, ans;

inline ll sum(ll l, ll r) { return (l + r) * (r - l + 1) / 2 % M; }
inline ll qsum(ll n) { return (n * (n + 1)) % M * (2 * n + 1) % M * P % M; }
ll L(ll n) {
	ll res = 0;
	for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
		r = n / (n / l);
		res = (res + n * (r - l + 1) % M - sum(l, r) * (n / l) % M + M) % M;
	}
	return res;
}
ll cal(ll n, ll m) {
	ans = L(n) * L(m) % M;
	for(ll l = 1, r, t1, t2, t3; l <= min(n, m); l = r + 1) {
		r = min(n / (n / l), m / (m / l));
		t1 = (n * m % M * (r - l + 1)) % M;
		t2 = (n / l) * (m / l) % M * (qsum(r) - qsum(l - 1) + M) % M;
		t3 = (n / l * m % M + m / l * n % M) * sum(l, r) % M;
		ans = (ans - (t1 + t2 - t3 + M) % M + M) % M;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld %lld", &n, &m);
	printf("%lld", cal(n, m) % M);
	return 0;
}