[HAOI2018]染色 题解
传送门
题目大意：一个长度为 n n n的颜色序列，至多 m m m种颜色，如果有 k k k种颜色恰好出现了 S S S次，愉悦度增加 w k w_k wk（ k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , m k=0,1,2,\cdots,m k=0,1,2,⋯,m）。求所有方案愉悦度之和。
首先颜色数量至多 L = min ( m , ⌊ n S ⌋ ) L=\min\left(m,\lfloor\frac{n}{S}\rfloor\right) L=min(m,⌊Sn⌋)种。
设 f i f_i fi表示至少有 i i i种颜色出现了恰好 S S S次的方案数
g i g_i gi表示恰好有 i i i种颜色出现了恰好 S S S次的方案数
不难发现 f i f_i fi与 g i g_i gi具有容斥的关系，并且 a n s = ∑ i = 0 L g i w i ans=\sum\limits_{i=0}^Lg_iw_i ans=i=0∑Lgiwi
考虑 f i f_i fi：从 m m m种颜色中选出 i i i种（ C m i C_m^i Cmi），从 n n n个位置中选出 i S iS iS个（ C n i S C_n^{iS} CniS），强行让这 i i i种颜色每种都出现 S S S次，它们的排列数就是 ( i S ) ! ( S ! ) i \frac{(iS)!}{(S!)^i} (S!)i(iS)!，然后剩下 n − i S n-iS n−iS个位置的颜色从剩下 m − i m-i m−i种中任选（ ( m − i ) n − i S (m-i)^{n-iS} (m−i)n−iS），所以有
f i = C m i C n i S ( i S ) ! ( S ! ) i ( m − i ) n − i S f_i=C_m^iC_n^{iS}\frac{(iS)!}{(S!)^i}(m-i)^{n-iS} fi=CmiCniS(S!)i(iS)!(m−i)n−iS
对 f i f_i fi进行容斥即可得到 g i g_i gi
g i = ∑ j = i L ( − 1 ) j − i C j i f j g_i=\sum\limits_{j=i}^L(-1)^{j-i}C_j^if_j gi=j=i∑L(−1)j−iCjifj
g i = ∑ j = i L ( − 1 ) j − i j ! i ! ( j − i ) ! f j g_i=\sum\limits_{j=i}^L(-1)^{j-i}\frac{j!}{i!(j-i)!}f_j gi=j=i∑L(−1)j−ii!(j−i)!j!fj
g i i ! = ∑ j = i L ( − 1 ) j − i ( j − i ) ! j ! f j g_ii!=\sum\limits_{j=i}^L\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}j!f_j gii!=j=i∑L(j−i)!(−1)j−ij!fj
设 a i = ( − 1 ) i i ! , b i = i ! f i a_i=\frac{(-1)^i}{i!},b_i=i!f_i ai=i!(−1)i,bi=i!fi，并且设 c i c_i ci为 b i b_i bi的翻转，那么
g i i ! = ∑ j = i L a j − i b j g_ii!=\sum\limits_{j=i}^La_{j-i}b_j gii!=j=i∑Laj−ibj
= ∑ j = 0 L − i a j b i + j =\sum\limits_{j=0}^{L-i}a_jb_{i+j} =j=0∑L−iajbi+j
= ∑ j = 0 L − i a j c L − i − j =\sum\limits_{j=0}^{L-i}a_jc_{L-i-j} =j=0∑L−iajcL−i−j
化为了卷积的形式，NTT即可解决。
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