命题逻辑

命题逻辑

命题的定义

具有确定真假意义的陈述句

联结词

联结词也称为真值函数,$0$ 和 $1$ 称为 $0$ 元真值函数,设$n\ge 1$,称$\{0,1{\}}^n$到$\{0,1\}$的函数为$n$元真值函数

$\neg$ 为一元联结词,$\wedge ,\vee ,\oplus ,\to ,\leftrightarrow$为二元联结词

优先级:$\neg ,\wedge ,\vee ,\oplus ,\to ,\leftrightarrow$

公式和真值赋值

命题逻辑之中的变元是命题变元,常元是$0$和$1$,函数是真值函数

命题变元也称为原子公式

公式的定义

设$S$是联结词($0,1$也是联结词)的集合,由$S$生成的公式定义如下:

(1)原子公式是由$S$生成的公式

(2)如果$c$是$S$中的$0$元联结词,则$c$是由$S$生成的公式

(3)若$n\ge 1$,$F$是$S$中的$n$元联结词,$A_1,...,A_n$是由$S$生成的公式,则$F{A}_1...A_n$是$S$生成的公式

不同的类别

永真式 每一个真值赋值都为1

可满足式 至少有一个真值赋值为1

永假式 每一个真值赋值都为0

真值赋值

全体命题变元组成的集合到集合$\{0,1\}$的函数为真值赋值(也就是把全体变元赋值用$0,1$来替代)

用$p^v$来表示$v$赋值给命题变元$p$的真值, $ p^v = c \Leftrightarrow v = (p/c)$

替换实例

用公式$B_1,...,B_n$分别替换公式$A$中的不同命题变元$p_1,...,p_n$得到的公式记为$A_{B_1,...,B_n}^{p_1,...,p_n}$,称之为$A$的一个替换实例

定理

$v(A_{B_1,...,B_n}^{p_1,...,p_n})=v[p_1/v(B_1),...,p_n/v(B_n)](A)$

其中$v^{\prime }=v[p_1/v(B_1),...,p_n/v(B_n)]$

等值演算

假设$A,B$为公式,如果对于每一个真值赋值$v$,$v(A)=v(B)$,也称$A,B$等值,记为$A\iff B,A\iff B$当且仅当$A\leftrightarrow$为永真式

对偶定理

假设$A$是由$\{0,1,\neg ,\wedge ,\vee \}$生成的公式,将$A$中的$\wedge ,\vee$互换,$0,1$互换得到$A^{\ast }$,称$A^{\ast }$与$A$互为对偶式

定理

前置定义: 如果真值赋值$v_1,v_2$满足对于每个命题变元$p$,$p^{v_1}\ne p^{v_2}$,称$v_1,v_2$是相反的

如果$A^{\ast }$和$A$是对偶式,$v,v^{\prime }$是相反的真值赋值,则$v(A^{\ast })=\neg v^{\prime }(A)$

证明:归纳假设(也就是数学归纳法)

如果$A^{\ast },A$为对偶式,$B^{\ast },B$为对偶式,如果$A\iff B,A^{\ast }\iff B^{\ast }$

联结词的完全集

设$F$是$n$元联结词,$p_1,...,p_n$是不同的命题变元,如果公式$A$中不出现除$p_1,...,p_n$之外的命题变元,并且$ A \Leftrightarrow Fp_1…p_n$,则称$A$定义$F$

如果存在由联结词集合$S$生成的公式来定义$F$,则称$F$可由$S$定义(说白了就是一个n元联结词可以由几个其他的联结词的集合代替)

完全集

如果每个$n(n\ge 1)$ 都可以由$S$定义,则称$S$为完全集,如果$S$中任意去掉一个都不为完全集,则为极小完全集

$\{\neg ,\wedge ,\vee \}$为完全集,$\{\oplus ,\leftrightarrow \}$不是完全集

$\{\neg ,\wedge \},\{\neg ,\vee \},\{\neg ,\to \}$为极小完全集

范式

定义

原子公式和原子公式的否定统称为文字,如果一个文字恰好为另一个文字的否定,那么他们为相反的文字

如果$A_i$为文字()

简单合取式: $A_1\wedge ...\wedge A_n$

简单析取式: $A_1\vee ...\vee A_n$

合取范式: 若$A_i$都是简单析取式,$A_1\land …\land A_n $为合取范式

析取范式: 若$A_i$都是简单合取式,$A_1\lor …\lor A_n $为析取范式

tips

单个文字既是简单合取式,又是简单析取式

一个简单合取式可以看成合取范式,也可以看作析取范式

主范式

极大项和极小项

设$p_i$为不同的命题变元,如果对于每个$A_i$,$A_i$为$p_i$或$\neg p_i$

则$A_1\vee ...\vee A_n$为关于$p_1,...,p_n$的极大项,有唯一的一个真值赋值使其为0

则$A_1\wedge ...\wedge A_n$为关于$p_1,...,p_n$的极小项,有唯一的一个真值赋值使其为1

定义

如果$A_i$是关于$p_1,...,p_n$的不同极小项,则$A_1\vee ...\vee A_m$为关于$p_1,...,p_n$的主析取范式

如果$A_i$是关于$p_1,...,p_n$的不同极大项,则$A_1\wedge ...\wedge A_m$为关于$p_1,...,p_n$的主合取范式

主合取范式和主析取范式互为对偶式

逻辑推论

定义

满足: 如果真值赋值$v$满足公式集合$\Gamma$中的每一个公式,称$v$满足$\Gamma$,$\Gamma$为可满足的

推出: $\Gamma$是公式集合,$A$是公式,如果每个满足$\Gamma$的真值赋值都满足$A$,称$\Gamma \models A$,如果不成立,$\Gamma /\models A$

也就是知道前提的公式正确,后面的公式就一定正确

定理

1. $A$ 是公式,则$\models A$当且仅当 $A$ 为永真式

2. 若$A_i,B$为公式,则$A_1,...,A_m\models B$当且仅当$A_1\wedge ...\wedge A_n\to B$为永真式

3. $A,B$是公式,$A\iff B$ 当且仅当$A\models B$且$B\models A$

4.$\Gamma \cup \{A\}\models B$当且仅当$\Gamma \models A\to B$

5.公式集$\{A_i\}$是可满足的,当且仅当$A_1\wedge ...\wedge A_n$是可满足的

6.若$\Gamma$是公式集,且$\Gamma$ 是不可满足的,当且仅当每个公式都是$\Gamma$的逻辑推论(也就是前提是错误的,可以推出所有的东西)