样本均值的抽样分布的均值问题

声明： 仅仅个人小记
为什么用样本均值来作为总体均值的估计？
这样真的好吗？如果好，到底好到什么程度。

目的

本文用来解释下面这句话（本人对下面这句话的逻辑一开始是不接受的，故而写文记录，以分享个人的逻辑理解）：
xˉ\bar{x}xˉ落在$\mu$的2个σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​左右范围的概率
等价于
$\mu$落在xˉ\bar{x}xˉ的2个σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​左右范围的概率

正文

正态分布，从正态分布中随机取出一个值，该值落在$\left(\mu -\sigma ,\mu +\sigma \right)$的概率为68%，落在$\left(\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma \right)$的概率为95.4%，落在$\left(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma \right)$的概率为99.7%。

我们知道样本均值的抽样分布，随着样本容量n的增大，愈而趋向正态分布(这是中心极限定理(Central Limit Theory)告知我们的)，而且该分布的均值正是总体均值，这一点不是估算的，而是本来就是，容易理解。

结合实际，我们生活中采集一批数据，比如100人的身高数据，可以视为总体身高的一个样本数据；1000人的体重数据，可以视为总体体重的一个样本数据；

而根据样本均值的抽样分布知道，样本均值服从样本均值的抽样分布，也就是，100人身高的均值是服从一个近似正态分布的。 利用正态分布的性质，我们可以值多少，100人身高的均值xˉ\bar{x}xˉ落在该分布均值$\mu$周围的多少范围的概率都是可以很容易得到的。

xˉ\bar{x}xˉ是服从抽样分布的一次取值，故而知道xˉ\bar{x}xˉ落在$\left(\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma \right)$的概率为95.4%，故而不等式μ−2σxˉ<xˉ<μ+2σxˉ\mu-2\sigma _{\bar{x}}<\bar{x}<\mu+2\sigma _{\bar{x}}μ−2σxˉ​<xˉ<μ+2σxˉ​成立的概率就是95.4%。这个不等式的语义为xˉ\bar{x}xˉ落在$\mu$的2个σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​左右范围的概率为95.4%。这个不等式里的未知数是$\mu$，xˉ\bar{x}xˉ就是本次的样本均值。还有就是σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​，这个是根据最大似然估计的思想，认为样本方差就是总体方差。于是不等式可以变换为xˉ−2σxˉ<μ<xˉ+2σxˉ\bar{x}-2\sigma _{\bar{x}}<\mu<\bar{x}+2\sigma _{\bar{x}}xˉ−2σxˉ​<μ<xˉ+2σxˉ​，这个不等式成立的概率为95.4%，语义上完全等价的变为，$\mu$落在xˉ\bar{x}xˉ周围2个σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​的概率为95.4%。计算出σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​，得到$\mu$的95.4%的置信区间，通常随着样本容量n增大，σxˉ\sigma _{\bar{x}}σxˉ​越小，也就意味着样本容量越大，用xˉ\bar{x}xˉ来作为$\mu$的估计是非常合理的。

所以，面对样本均值的抽样分布问题的时候，我们会直接用样本均值作为总体均值的估计，也就是抽样分布的均值的估计。这是一件很合理的事情，也是逻辑上比较有说服力的事情。

当然，样本均值的抽样分布一共有两个参数需要估计，上面所讲的只是均值的估计。至于标准差的估计，只是运用了最大似然估计的方法(我认为这种方法只是一种猜测，不过也还是具有一定的说服力的)。总体σ^=s\hat{\sigma}=sσ^=s(s为样本标准差)，根据中心极限定理知道，样本均值的抽样分布的标准差σxˉ=σn\sigma _{\bar{x}}=\frac {\sigma}{\sqrt{n}}σxˉ​=n​σ​。

2018年2月5日 16:59:44 By Jack Lu