反常积分计算细节

反常积分计算细节

@(微积分)

反常积分总共就分两类：

• 积分上下限无界
• 积分区域有界，函数在边界有暇点

针对第二类，有如下的计算技巧。

∫baf(x)dx

设在(a,b]上，在a处是暇点。

limx→a+f(x)(x−a)δ存在,δ∈(0,1)
则积分收敛。

设在[a,b)上，b处是暇点。

limx→b−f(x)(x−b)δ存在,δ∈(0,1)
则积分收敛。

我们说在(0,+∞)上看积分的收敛性是考虑被积函数要更快趋近于0，而在(0,1)区间上，是说f(x)更慢趋近于0，本质都是让函数的曲线更快靠近参考线。只不过一个水平，一个垂直。因此当函数更快靠近水平线时，将更慢靠近垂直，反之亦然。

上面是自己刚刚想明白的。

具体为什么，待思考证明。

20161222 update:

回头更新这部分的理论支撑：原来根子还是在这些大师的定理中，柯西，阿贝尔，狄利克雷。。。

上面用到的就是在有限区间内瑕积分柯西审敛法。

在(a,b]区间上，x = a是瑕点，则计算lim(x−a)pf(x)是否存在。具体分为0<p<1时极限存在，则收敛。p=1时，即lim(x−a)f(x)极限大于0或者无穷大，都可以说明积分发散。

而对于无穷区间的积分，用的是limxpf(x).当p>1时，极限存在则积分收敛。p=1时，limxf(x)极限大于0或者为无穷大，则积分发散。

具体的理论证明这里不展开，只是更新下这个是什么。以及如何用。

关于无穷积分的收敛准则，多说一句，有些积分可以拆分为两个函数之积，其中一个单调有界，另一个积分收敛，则总体收敛。

比如判断一个积分：I=∫+∞01(1+xa)ln(1+xb)dx,其中a>0,b>0若该积分收敛，则必有：a>1,b<1.
分析：这种问题如果不掌握上面的理论，则很难下手。如同2016年的反常积分，如果不知道如何用柯西审敛法来做，也很难解决。
这里，可以看到拆分为两个函数之积，同时区间可以拆分。因为在(0,1)上和(1,+∞)是不一样的。

I=∫+∞01(1+xa)ln(1+xb)dx=∫101(1+xa)ln(1+xb)dx+∫+∞11(1+xa)ln(1+xb)dx

在(0,1)上， 11+xa 是单调减且有界的函数，那么根据阿贝尔判别法，只用使得 ∫101ln(1+xb)dx 收敛即可。可见在x=0处是瑕积分，那么就可以用柯西审敛定理，构造:

limx→0+(x−0)pln(1+xb)=xpxb,p∈(0,1)所以b <1时极限存在。

同理在(1,+∞)上，ln(1+xb)是单调递减且有界的，只用关注∫+∞11(1+xa)，由p积分可知，a>1时积分收敛。