概率分布-泊松分布

分布特点

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为

 λ 

应用场景

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均 瞬时速率 λ （或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布 P ( λ )。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

        ！某一服务设施在一定时间内到达的人数

！电话交换机接到的呼叫次数

！汽车站台的侯客人数

！机器出现的故障数

！自然灾害的发生数

！产品的缺陷数

！显微镜下单位面积内细菌的分布数

等等

      应用示例

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。  

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

称为泊松分布。例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×10 6 核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：

p(0)是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此p(1),p(2)..就意味着全部死亡的概率。  

泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？

      例如说一个医院中，每个病人来看病都是随机并独立的概率，则该医院一天（或者其他特定时间段，一小时，一周等等）接纳的病人总数可以看做是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢？

我个人认为最好的解释方法是从poisson的两种不同定义上着手。

Poisson分布的第一个定义是一个随机变量X, 只能取值非负整数（x=0,1,2,...），且相应的概率为

，则该变量称为服从poisson分布。这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的poisson随机变量的定义。

注意Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义，或者说是Poisson Process的定义：假定一个事件在一段时间内随机发生，且符合以下条件：

（1）将该时间段无限分隔成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段里，该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。

（2）在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。

（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。则该事件称为poisson process。

这个第二定义就更加利于大家理解了，回到医院的例子之中，如果我们把一天分成24个小时，或者24x60分钟，或者24x3600秒。时间分的越短，这个时间段里来病人的概率就越小（比如说医院在正午12点到正午12点又一毫秒之间来病 人的概率是不是很接近于零？）。 条件一符合。另外如果我们把时间分的很细很细，是不是同时来两个病人（或者两个以上的病人）就是不可能的事件？即使两个病人同时来，也总有一个人先迈步子跨进医院大门吧。条件二也符合。倒是条件三的要求比较苛刻。应用到实际例子中就是说病人们来医院的概率必须是相互独立的，如果不是，则不能看作是poisson分布。