欧几里得算法(gcd)及其扩展

欧几里得算法(gcd)即辗转相除法，求两个数的最大公约数
辗转相除法的关键在于恒等式gcd ( a,b ) = gcd ( b,a % b ),以及边界条件gcd ( a ,0 ) = a
gcd函数代码如下

int gcd(int a,int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b,a % b);
}

扩展的欧几里得算法用于解决如下问题：
已知a，b，求解一组x，y，使其满足 ax+by=gcd(a,b) （该等式称贝祖等式）
证明：
假设a>b
(1)当b=0，gcd(a,0)=a,则方程变为ax=a，所以一组解为x=1，y=0
(2)当b!=0，假设
ax1 + by1 = gcd(a,b)      
bx2 + (a%b)y2 = gcd(b,a%b)
因为gcd(a,b)  = gcd(b,a%b)，所以ax1 + by1 = bx2 + (a%b)y2    
从编程的角度上来说，a%b = a - (a/b)*b
所以上式等价变形为
ax1 + by1 = bx2 + [a - (a/b)*b]y2
                 = bx2 + ay2 - (a/b)*by2
                 = ay2 + b[x2 - (a/b)y2]
将a，b看做变量，根据对应项系数相等，有
x1 = y2
y1 = x2 - (a/b)y2
结合(1)中分析，可用上述二式得到一组新解

另有结论：
设a,b,c为任意整数，g = gcd(a,b),方程ax + by = g的一组解为(x0,y0)
则当c是g的倍数时，方程ax+by = c的一组解为(x0*c/g,y0*c/g)；当c不是g的倍数时无整数解

设a,b,c为任意整数，g = gcd(a,b),方程ax + by = c的一组解为(x0,y0)
则它的任意解都可以写成(x0+kb',y0-ka'),其中a' = a / gcd(a,b) , b' = b / gcd(a,b)

扩展欧几里得算法代码如下

//函数返回为a，b的最大公约数，求得的解存放在x，y中
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }else{
        int g = ecgcd(b,a%b,x,y);
        int x2 = x;
        int y2 = y;
        x = y2;
        y = x2 - a/b*y2;
        return g;
    }
}

如下题目是扩展欧几里得算法的一个应用：POJ1061 青蛙的约会

题目描述：

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input:
1 2 3 4 5

Sample Output:
4

问题分析：设跳了t次之后青蛙碰面，则有(x+mt)%L = (y+nt)%L
即x+mt - k1*L = y+nt - k2*L (k1,k2为某一定值)
即(m-n)t + (k2-k1)L = y-x，令k = k2-k1
即(m-n)t + k*L = y-x
令a=m-n,b=L,c=y-x，则得到at+bk=c(k,t为未知数)的标准形式

AC代码如下：

#include 
using namespace std;

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }else{
        long long g = exgcd(b,a%b,x,y);
        long long x2 = x;
        long long y2 = y;
        x = y2;
        y = x2 - a/b*y2;
        return g;
    }
}

int main(){
	long long x,y,m,n,L;
	long long a,b,c,x1,y1,t,k;
	while(cin >> x >> y >> m >> n >> L){
		a = m - n;
		b = L;
		c = y - x;
		if(a < 0){
			a = -a;
			c = -c;
		}
		long long g = exgcd(a,b,x1,y1);
		if(c % g != 0){
			cout << "Impossible" << endl;
		}else{
			t = x1*c/g;
			int temp = b/g;
			if(t >= 0)
				t %= temp;
			else
				t = t%temp + temp;  
			cout << t << endl;
		}
			
	}
	return 0;
}