洛谷 1306斐波那契公约数

题目描述

还是看了题解

结论:gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]

  引理:gcd(f[n],f[n+1])=1

  证明:利用辗转相减法:gcd(f[n],f[n+1])=gcd(f[n],f[n+1]-f[n])=gcd(f[n],f[n-1]),一直相减,最后得到gcd(f[n],f[n+1])=gcd(f[1],f[0])=1。

证明:

  设f[n]=a,f[n+1]=b,

  则f[n+2]=a+b,f[n+3]=a+2b,f[n+4]=2a+3b,f[n+5]=3a+5b,f[n+6]=5a+8b,发现往后每一项a和b前的系数都为斐波那契数,

  所以f[m]=f[m-n-1]*a+f[m-n]*b。

  再看求解gcd的过程:

    gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m]%f[n])

          =gcd(f[n],(f[m-n-1]*a+f[m-n]*b)%f[n])

          =gcd(f[n],f[m-n]*b)=gcd(f[n],f[m-n]*f[n+1]);

    因为gcd(f[n],f[n+1])=1,

    所以gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m-n]),

    即gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m%n]);

    继续向下递归求解,发现这个过程也就是求gcd(n,m)的过程

    所以gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]

//Gcd(f[a],f[b])=f[Gcd(a,b)]
#include
#include
using namespace std;
const int mod=1e8;
struct Matrix{
    long long sz[2][2];
    inline Matrix operator *(const Matrix &a)const
    {
        Matrix res;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                res.sz[i][j]=0;
                for(int k=0;k<2;k++)
                    res.sz[i][j]=(res.sz[i][j]+sz[i][k]*a.sz[k][j])%mod;
            }
        return res;
    }
}a;
int n,m;
int Gcd(int a,int b)
{
    if(!b)return a;
    return Gcd(b,a%b);
}
int Fpow(Matrix b,int p)
{
    Matrix k=b;
    for(;p;p>>=1,k=k*k)
        if(p&1)b=b*k;
    return b.sz[0][0];
}
int main()
{
    a.sz[0][0]=a.sz[0][1]=a.sz[1][0]=1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n=Gcd(n,m);
    if(n<=2)puts("1");
    else printf("%d\n",Fpow(a,n-2));
    return 0;
}

 

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