洛谷 1306斐波那契公约数

题目描述

还是看了题解

结论：gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]

　　引理：gcd(f[n],f[n+1])=1

　　证明：利用辗转相减法：gcd(f[n],f[n+1])=gcd(f[n],f[n+1]-f[n])=gcd(f[n],f[n-1])，一直相减，最后得到gcd(f[n],f[n+1])=gcd(f[1],f[0])=1。

证明：

　　设f[n]=a，f[n+1]=b，

　　则f[n+2]=a+b，f[n+3]=a+2b，f[n+4]=2a+3b，f[n+5]=3a+5b，f[n+6]=5a+8b，发现往后每一项a和b前的系数都为斐波那契数，

　　所以f[m]=f[m-n-1]*a+f[m-n]*b。

　　再看求解gcd的过程：

　　　　gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m]%f[n])

　　　　　　　　　　=gcd(f[n],(f[m-n-1]*a+f[m-n]*b)%f[n])

　　　　　　　　　　=gcd(f[n],f[m-n]*b)=gcd(f[n],f[m-n]*f[n+1])；

　　　　因为gcd(f[n],f[n+1])=1，

　　　　所以gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m-n])，

　　　　即gcd(f[n],f[m])=gcd(f[n],f[m%n])；

　　　　继续向下递归求解，发现这个过程也就是求gcd(n,m)的过程

　　　　所以gcd(f[n],f[m])=f[gcd(n,m)]

//Gcd(f[a],f[b])=f[Gcd(a,b)]
#include
#include
using namespace std;
const int mod=1e8;
struct Matrix{
    long long sz[2][2];
    inline Matrix operator *(const Matrix &a)const
    {
        Matrix res;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                res.sz[i][j]=0;
                for(int k=0;k<2;k++)
                    res.sz[i][j]=(res.sz[i][j]+sz[i][k]*a.sz[k][j])%mod;
            }
        return res;
    }
}a;
int n,m;
int Gcd(int a,int b)
{
    if(!b)return a;
    return Gcd(b,a%b);
}
int Fpow(Matrix b,int p)
{
    Matrix k=b;
    for(;p;p>>=1,k=k*k)
        if(p&1)b=b*k;
    return b.sz[0][0];
}
int main()
{
    a.sz[0][0]=a.sz[0][1]=a.sz[1][0]=1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n=Gcd(n,m);
    if(n<=2)puts("1");
    else printf("%d\n",Fpow(a,n-2));
    return 0;
}

 

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