羊城杯 Crypto RRRRRRRSA (连分数,低解密指数攻击原理)
题面
import hashlib
import sympy
from Crypto.Util.number import *
flag = 'GWHT{************}'
flag1 = flag[:19].encode()
flag2 = flag[19:].encode()
assert(len(flag) == 38)
P1 = getPrime(1038)
P2 = sympy.nextprime(P1)
assert(P2 - P1 < 1000)
Q1 = getPrime(512)
Q2 = sympy.nextprime(Q1)
N1 = P1 * P1 * Q1
N2 = P2 * P2 * Q2
E1 = getPrime(1024)
E2 = sympy.nextprime(E1)
m1 = bytes_to_long(flag1)
m2 = bytes_to_long(flag2)
c1 = pow(m1, E1, N1)
c2 = pow(m2, E2, N2)
output = open('secret', 'w')
output.write('N1=' + str(N1) + '\n')
output.write('c1=' + str(c1) + '\n')
output.write('E1=' + str(E1) + '\n')
output.write('N2=' + str(N2) + '\n')
output.write('c2=' + str(c2) + '\n')
output.write('E2=' + str(E2) + '\n')
output.close()
decrypt
首先回顾一下之前的一个rsa中的很著名的攻击方法,低解密指数攻击.
低解密指数攻击用到了连分数.
首先在rsa中有: ed=1 mod phi => ed-1=kphi => e/phi-k/d=1/(dphi)
可以发现当p,q很大时,phi和n是接近的,1/(dphi)很小,说明e/phi 和k/d 很接近,这里phi可以近似看成n.
于是e/n 和k/d 很接近.
当e很大时,通过对e/n进行连分数展开,然后对每一项求其渐进分数,通过遍历渐进分数k/d很有可能就被e/n的众多项渐进分数中的一项所覆盖,假设覆盖它的是k1/d1,那么k1=k ; d1=d.这里可能会有疑问,如果gcd(k,d)!=1 那么对于最简的k1/d1来说是否应该存在t使得tk1=k td1=d 呢? 但其实这里 gcd(k,d)一定为1即k,d一定互质.证明也很简单.前面我们可以得到: ed-kphi=1 对于这么一个式子,在扩展欧几里得里有如果gcd(d,k)!=1 那么该该方程无解.(不互质可以提出一个不为1公因子,除过去左边全是整数而右边却是真分数显然不可能)
对于这一道题:
N1/N2=(p1/p2)2 (q1/q2)
显然我们可以知道的是N1/N2
尝试对N1/N2进行连分数展开并求其各项渐进分数,记为ti/si并验证N1%ti==0是否成立,如果成立,那么return.
import gmpy2
N1=60143104944034567859993561862949071559877219267755259679749062284763163484947626697494729046430386559610613113754453726683312513915610558734802079868190554644983911078936369464590301246394586190666760362763580192139772729890492729488892169933099057105842090125200369295070365451134781912223048179092058016446222199742919885472867511334714233086339832790286482634562102936600597781342756061479024744312357407750731307860842457299116947352106025529309727703385914891200109853084742321655388368371397596144557614128458065859276522963419738435137978069417053712567764148183279165963454266011754149684758060746773409666706463583389316772088889398359242197165140562147489286818190852679930372669254697353483887004105934649944725189954685412228899457155711301864163839538810653626724347
c1=55094296873556883585060020895253176070835143350249581136609315815308788255684072804968957510292559743192424646169207794748893753882418256401223641287546922358162629295622258913168323493447075410872354874300793298956869374606043622559405978242734950156459436487837698668489891733875650048466360950142617732135781244969524095348835624828008115829566644654403962285001724209210887446203934276651265377137788183939798543755386888532680013170540716736656670269251318800501517579803401154996881233025210176293554542024052540093890387437964747460765498713092018160196637928204190194154199389276666685436565665236397481709703644555328705818892269499380797044554054118656321389474821224725533693520856047736578402581854165941599254178019515615183102894716647680969742744705218868455450832
E1=125932919717342481428108392434488550259190856475011752106073050593074410065655587870702051419898088541590032209854048032649625269856337901048406066968337289491951404384300466543616578679539808215698754491076340386697518948419895268049696498272031094236309803803729823608854215226233796069683774155739820423103
N2=60143104944034567859993561862949071559877219267755259679749062284763163484947626697494729046430386559610613113754453726683312513915610558734802079868195633647431732875392121458684331843306730889424418620069322578265236351407591029338519809538995249896905137642342435659572917714183543305243715664380787797562011006398730320980994747939791561885622949912698246701769321430325902912003041678774440704056597862093530981040696872522868921139041247362592257285423948870944137019745161211585845927019259709501237550818918272189606436413992759328318871765171844153527424347985462767028135376552302463861324408178183842139330244906606776359050482977256728910278687996106152971028878653123533559760167711270265171441623056873903669918694259043580017081671349232051870716493557434517579121
c2=39328446140156257571484184713861319722905864197556720730852773059147902283123252767651430278357950872626778348596897711320942449693270603776870301102881405303651558719085454281142395652056217241751656631812580544180434349840236919765433122389116860827593711593732385562328255759509355298662361508611531972386995239908513273236239858854586845849686865360780290350287139092143587037396801704351692736985955152935601987758859759421886670907735120137698039900161327397951758852875291442188850946273771733011504922325622240838288097946309825051094566685479503461938502373520983684296658971700922069426788236476575236189040102848418547634290214175167767431475003216056701094275899211419979340802711684989710130215926526387138538819531199810841475218142606691152928236362534181622201347
E2=125932919717342481428108392434488550259190856475011752106073050593074410065655587870702051419898088541590032209854048032649625269856337901048406066968337289491951404384300466543616578679539808215698754491076340386697518948419895268049696498272031094236309803803729823608854215226233796069683774155739820425393
def continuedFra(x, y):
cF = []
while y:
cF += [x // y]
x, y = y, x % y
return cF
def Simplify(ctnf):
numerator = 0
denominator = 1
for x in ctnf[::-1]:
numerator, denominator = denominator, x * denominator + numerator
return (numerator, denominator)
def getit(c):
cf=[]
for i in range(1,len(c)):
cf.append(Simplify(c[:i]))
return cf
#求渐进分数
def wienerAttack(e, n):
cf=continuedFra(e,n)
for (p2,p1) in getit(cf):
if p1 == 0:
continue
if N1%p1==0 and p1!=1:
return p1
print('not find!')
q1=wienerAttack(N1,N2)
#p1=11628371843051760370952910026406764366191062991235308941262037248377376991693250742343307155422036713746576338866595433599862614339347536916226536644210947
print(q1)
p1=gmpy2.iroot(N1//q1,2)[0]
p2=gmpy2.next_prime(p1)
q2=gmpy2.next_prime(q1)
phi1=p1*(p1-1)*(q1-1)
phi2=p2*(p2-1)*(q2-1)
d1=gmpy2.invert(E1,phi1)
d2=gmpy2.invert(E2,phi2)
from Crypto.Util import number
m1=number.long_to_bytes(gmpy2.powmod(c1,d1,N1))
m2=number.long_to_bytes(gmpy2.powmod(c2,d2,N2))
print((m1+m2))
#GWHT{3aadab41754799f978669d53e64a3aca}
总结
1,每次拿到一个顺手的脚本或者工具都会让我这个工科生兴奋,但是是其背后的理论知识也十分重要.理论知识往往能解决一类问题,而脚本或者工具往往只能解决一个问题.
2,知识太多需不断学习.