【博弈】A002_LC_石子游戏 IV（记忆化搜索 / 纯 dp）

一、Problem

Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏，Alice 先手。

一开始，有 n 个石子堆在一起。每个人轮流操作，正在操作的玩家可以从石子堆里拿走 任意 非零 平方数 个石子。

如果石子堆里没有石子了，则无法操作的玩家输掉游戏。

给你正整数 n ，且已知两个人都采取最优策略。如果 Alice 会赢得比赛，那么返回 True ，否则返回 False

输入：n = 7
输出：false
解释：当 Bob 采取最优策略时，Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子， Bob 会拿走 1 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0）。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子， Bob 会拿走 4 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0）。

提示：

1 <= n <= 10^5

二、Solution

方法一：

思路

如果当前剩余石子为 $n$，假设 Alice 现在要从 n 个石子中取 $x^2$ 个石子，那 Bob 下一轮只能在 $n-x^2$ 中取平方个石子；

若存在一个状态 $f[n-x^2]=false$ 则证明 Bob 将要输掉比赛，也说明 $f[n]$ 为 true（Alice 胜利状态）

也就是我们可以疯狂地让 Alice 尝试去 $x^2$ 个石子

class Solution {
     
    int n;
    boolean f[];
    boolean dfs(int n) {
     
        if (n == 0)
            return false;
        if (f[n]) 
            return f[n];
        for (int x = 1; x*x <= n; x++) {
     
            if (dfs(n-x*x) == false)
                return f[n] = true;
        }
        return f[n];
    }
    public boolean winnerSquareGame(int n) {
     
        this.n = n; f = new boolean[n+1];
        return dfs(n);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\times sqrt(n))$，
• 空间复杂度：$O(n)$，