卡特兰数

卡特兰数 组合数学

前几项为：1，2，5，14，42，132,429...

一、Catalan数的定义令h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2该递推关系的解为：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数）

参考：https://blog.csdn.net/Hackbuteer1/article/details/7450250

https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/78161211

https://blog.csdn.net/jokerwyt/article/details/77414853

https://blog.csdn.net/sinat_35512245/article/details/53924772

相关题目：

1、hdu4165：http://henuly.top/?p=216  

2、16个人去饼店买饼，其中8个人身上有5块钱，8个人身上有10块钱，饼5块钱一个，老板一开始没有零钱可找，问有多少种方案可以让每个人都买到饼。

卡特兰数的问题和上面的类似，最典型的就是出入栈的问题，对于一个容量为2n的栈，n个入栈，n个出栈，有多少种合法的方案。

递归公式：

这里我们把入栈操作看做1，出栈看做0，即1的个数必须大于0.

总共2n次操作，n次入栈，n次出栈，所以可以得出，总的操作方案数即是C(2n,n). 

我们把1和0平铺， 即变成11011100.。。0这样的数列。对于所有合法的方案，假设，在第k位，这时1的数量和0的数量相等，由此可以得出，在k位之前，1的数量应该大于0 的数量，并且在k位之后，1的数量也应该大于0的数量，这样才能构成一个合法的序列。

那么，一个总的合法序列就应该所以k的可能位置之和，并且k的位置是对称的。即我们可以对一个合法序列进行分开统计，分成k前后两部分，然后对这两部分再分 ，即进行一次次递归，直到最小单位为止，然后再把所有的相加。

那么次数可以写成f（2n） = f（0）*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+....+f(n-2)*f(1)+f(n-1)*f(0) ;

其中f（1）=1；那么可以得出f（0）=1；

用程序递归之后即可解得总数。

 

3、出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?  

分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。 

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。  

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。 

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。比较抽象，有好的理解请回复。

因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)

 

 

计算公式

卡特兰数一般的计算公式： 
另类递推公式：C(n)=C(n-1)*((4*n-2)/(n+1));

一般性质

Cn的另一个表达形式为 
所以，Cn是一个自然数，这一点在先前的通项公式中并不显而易见。 
这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

卡塔兰数满足以下递推关系 
 
它也满足 
 
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为 
 
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2^k − 1。 
所有其他的卡塔兰数都是偶数。