拉格朗日对偶

（红色部分为全文主体部分）

本文承接上一篇 约束优化方法之拉格朗日乘子法与KKT条件，将详解一些拉格朗日对偶的内容。都是一些在优化理论中比较简单的问题或者一些特例，复杂的没见过，但是简单的刚接触都感觉如洪水猛兽一般，所以当真是学海无涯。

在优化理论中，目标函数  f(x) 会有多种形式：

如果目标函数和约束条件都为变量  x 的线性函数, 称该问题为线性规划；

 如果目标函数为二次函数, 约束条件为线性函数, 称该最优化问题为二次规划; 

如果目标函数或者约束条件均为非线性函数, 称该最优化问题为非线性规划。

每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题，对偶问题有非常良好的性质，以下列举几个：

• 对偶问题的对偶是原问题；
• 无论原始问题是否是凸的，对偶问题都是凸优化问题；
• 对偶问题可以给出原始问题一个下界；
• 当满足一定条件时，原始问题与对偶问题的解是完全等价的；

比如下边这个例子，虽然原始问题非凸，但是对偶问题是凸的：

minx (x4−50x2+100x) s.t.   x≥4.5

一、原始问题

开始步入正题，首先给出不等式约束优化问题：

minx f(x)s.t.   hi(x)=0, i=1,2,...,m         gj(x)≤0, j=1,2,...,n

定义 Lagrangian 如下：

L(x,α,β)=f(x)+∑i=1mαihi(x)+∑j=1nβjgj(x)

根据以上 Lagrangian 便可以得到一个重要结论：

f(x)=maxαβ;βi≥0L(x,α,β)>L(x,α,β)(*)

(*) 式很容易验证，因为满足约束条件的  x x 会使得  hi(x)=0 hi(x)=0 ，因此第二项消掉了；而  gj(x)≤0 ，并且使得  βj≥0 ，因此会有  βjgj(x)≤0  ，所以最大值只能在它们都取零的时候得到，这个时候就只剩下  f(x) 了。反之如果有任意一个约束条件不满足，则只需令其相应的乘子  →+∞ ，则会得到  L(x,α,β)→+∞    ，这样将导致问题无解，因此必须满足约束条件。经过这样一转变，约束都融合到了一起而得到如下的无约束的优化目标：

minxf(x)=minxmaxα,β;βi≥0L(x,α,β)--------p*p∗

二、对偶问题

上式与原优化目标等价，将之称作原始问题 , 将原始问题的解记做  p∗ ，如此便把带约束问题转化为了无约束的原始问题，其实只是一个形式上的重写，方便找到其对应的对偶问题，首先为对偶问题定义一个对偶函数（dual function） ：

D(α,β)=minxL(x,α,β)

有了对偶函数就可给出对偶问题了，与原始问题的形式非常类似，只是把 min 和 max 交换了一下：

maxα,β;βi≥0minxL(x,α,β)

然后定义对偶问题的最优解即关于  αβ    的函数：

d∗=maxα,β;βi≥0D(α,β)

对偶问题和原始问题的最优解并不相等，而是满足的如下关系：（弱对偶性）

d∗≤p∗

直观地，可以理解为最小的里最大的那个要比最大的中最小的那个要大(感觉是“小”)。

理解如下图：

具体的证明过程如下：

证明在这里，首先这里的约束要全部满足，对偶问题与原始问题的关系如下：

D(α,β)=minxL(x,α,β)≤L(x,α,β)≤maxα,β,βi≥0L(x,α,β)=f(x)

即  D(α,β)≤f(x)         ，所以自然而然可得:

d∗=maxα,β;βi≥0D(α,β)≤minxf(x)=p∗

即现在通过对偶性，为原始问题引入一个下界， d∗≤p∗ d∗≤p∗ .

这个性质便叫做弱对偶性（weak duality），对于所有优化问题都成立，即使原始问题非凸。这里还有两个概念：  f(x)–D(α,β)       叫做对偶间隔（duality gap），  p∗–d∗   叫做最优对偶间隔（optimal duality gap）。

之前提过无论原始问题是什么形式，对偶问题总是一个凸优化的问题，这样对于那些难以求解的原始问题 （甚至是 NP 问题），均可以通过转化为偶问题，通过优化这个对偶问题来得到原始问题的一个下界， 与弱对偶性相对应的有一个强对偶性（strong duality） ，强对偶即满足：

d∗=p∗

强对偶是一个非常好的性质，因为在强对偶成立的情况下，可以通过求解对偶问题来得到原始问题的解，在 SVM 中就是这样做的。当然并不是所有的对偶问题都满足强对偶性 ，在 SVM 中是直接假定了强对偶性的成立，其实只要满足一些条件，强对偶性是成立的，比如说 Slater 条件与KKT条件。

Slater 条件

也就是说如果原始问题是凸优化问题并且满足 Slater 条件的话，那么强对偶性成立。需要注意的是，这里只是指出了强对偶成立的一种情况，并不是唯一的情况。例如，对于某些非凸优化的问题，强对偶也成立。SVM 中的原始问题 是一个凸优化问题（二次规划也属于凸优化问题），Slater 条件在 SVM 中指的是存在一个超平面可将数据分隔开，即数据是线性可分的。当数据不可分时，强对偶是不成立的，这个时候寻找分隔平面这个问题本身也就是没有意义了，所以对于不可分的情况预先加个 kernel 就可以了。

KKT条件

假设  x∗  与  α∗,β∗  分别是原始问题（并不一定是凸的）和对偶问题的最优解，且满足强对偶性，则相应的极值的关系满足：

f(x∗)=d∗=p∗=D(α∗,β∗)=minxf(x)+∑i=1mα∗ihi(x)+∑j=1nβ∗jgj(x)≤f(x∗)+∑i=1mα∗ihi(x∗)+∑j=1nβ∗jgj(x∗)≤f(x∗)

这里第一个不等式成立是因为  x∗ x∗ 为  L(x,α∗,β∗)   的一个极大值点，最后一个不等式成立是因为  hi(x∗)=0  ,且  gj(x∗)≤0,βj≥0 ，（ βj≥0  是之前 (*) 式的约束条件）因此这一系列的式子里的不等号全部都可以换成等号。根据公式还可以得到两个结论：

1）第一个不等式成立是因为  x∗ x∗ 为  L(x,α∗,β∗) L(x,α∗,β∗) 的一个极大值点，由此可得:

∇x∗L(x,α∗,β∗)=0

2）第二个不等式其实就是之前的 (*)  式， β∗jgj(x∗) βj∗gj(x∗) 都是非正的，所以这里有：

β∗jgj(x∗)=0, i=1,2,…,m

也就是说如果  β∗j>0 βj∗>0，那么必定有  gj(x∗)=0 gj(x∗)=0 ；反过来，如果  gj(x∗)<0 gj(x∗)<0 那么可以得到  β∗j=0 βj∗=0 ，即：

{β∗j>0⇒g∗j(x)=0g∗j(x)<0⇒β∗j=0

这些条件都似曾相识，把它们写到一起，哎？不就是传说中的 KKT (Karush-Kuhn-Tucker) 条件么:

∇xL(x,α,β)βjgj(x)hi(x)gj(x)βj=0=0, j=1,2,...,n=0, i=1,2,...,m≤0, j=1,2,...,n≥0, j=1,2,...,n(1)(2)(3)(4)(5)

总结来说就是说任何满足强对偶性的优化问题，只要其目标函数与约束函数可微，任一对原始问题与对偶问题的解都是满足 KKT 条件的。即满足强对偶性的优化问题中，若  x∗  为原始问题的最优解， α∗,β∗  为对偶问题的最优解，则可得  x∗,α∗,β∗   满足 KKT 条件。不知道够不够清楚，书中原话（P243）是这样的 7.1 7.1：

上面只是说明了必要性，当满足原始问题为凸优化问题时，必要性也是满足的，也就是说当原始问题是凸优化问题,且存在  x∗,α∗,β∗   满足 KKT 条件，那么它们分别是原始问题和对偶问题的极值点并且强对偶性成立，证明如下：

首先原始问题是凸优化问题，固定  α∗,β∗ ，之后对偶问题  D(α∗,β∗) 也是一个凸优化问题， x∗ 是  L(x,α∗,β∗)  的极值点：

D(α∗,β∗)=minxL(x,α∗,β∗)=L(x∗,α∗,β∗)=f(x∗)+∑i=1mα∗ihi(x∗)+∑j=1nβ∗jgj(x∗)=f(x∗)

最后一个式子是根据 KKT 条件中的  hi(x)=0 与  βjgj(x)=0 得到的。这样一来，就证明了对偶间隔为零，也就是说，强对偶成立。 所以当原始问题为凸优化问题时，书中的原话（P244）如下 7.1 7.1：

关于对偶的问题到此为止，其实都是很优化方法中比较简单的内容。总结一下。本文介绍了对偶的基本概念，对于一个约束优化问题，找到其对偶问题，当弱对偶成立时，可以得到原始问题的一个下界。而如果强对偶成立，则可以直接求解对偶问题来解决原始问题。 SVM 就是这样的。对偶问题由于性质良好一般比原始问题更容易求解，在 SVM 中通过引入对偶问题可以将问题表示成数据的内积形式从而使得 kernel trick 的应用更加自然）。此外，还有一些情况会同时求解对偶问题与原始问题 ，比如在迭代求解的过程中，通过判断对偶间隔的大小，可以得出一个有效的迭代停止条件。

 

参考文献

1. https://www.cs.cmu.edu/~ggordon/10725-F12/slides/15-duality.pdf

   https://www.cs.cmu.edu/~ggordon/10725-F12/slides/16-kkt.pdf

2. http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/Duality.pdf

4. http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982684.html

5. http://blog.pluskid.org/?p=702

6. http://blog.pluskid.org/?p=702

7.书籍 Convex Optimization Cambridge版 (7.1)|  统计学习方法 李航(7.2)