BZOJ-2301-莫比乌斯

莫比乌斯反演；

形式一：

F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)

形式二：

F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)

题目大意：求在a<=x<=b,c<=y<=d，满足gcd(x,y)是k的(x,y)的对数；

题目解析：满足gcd(x,y)是k的(x,y)的对数也等价于1<=x<=n/k,1<=y<=m/k,(x,y)互质的对数，

令f(i)表示满足gcd(x,y)=i时(x,y)的对数，F(i)表示满足i|gcd(x,y)的(x,y)的对数，

F(i)=∑i|df(d)=>f(i)=∑i|dμ(di)F(d)=∑i|dμ(di)⌊nd⌋⌊md⌋

接着我们利用分块的思想，预处理出莫比乌斯函数的前缀和；

AC代码：

#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 50000
int a,b,c,d,k,p[MAXN+10],pcnt,mu[MAXN+10],sum[MAXN+10],ans,n;
bool f[MAXN+10];
void Read(int &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void prepare(){
    int i,j;
    mu[1]=sum[1]=1;
    for(i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!f[i])
            p[++pcnt]=i,mu[i]=-1;
        for(j=1;p[j]*i<=MAXN;j++){
            f[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0){
                mu[p[j]*i]=0;
                break;
            }
            mu[p[j]*i]=-mu[i];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
}
int cal(int n,int m){
    int t=min(m,n),last,ret=0,i;
    for(i=1;i<=t;i=last+1){
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ret+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ret;
}
void solve(int a,int b,int c,int d,int k){
    a--,c--;
    a/=k,b/=k,c/=k,d/=k;
    ans=cal(b,d)-cal(a,d)-cal(b,c)+cal(a,c);
}
int main()
{
    Read(n);
    prepare();
    while(n--){
        Read(a),Read(b),Read(c),Read(d),Read(k);
        solve(a,b,c,d,k);
        printf("%d\n",ans);
    }
}