[bzoj2154]crash的数字表格 解题报告
借这题理解了tangjz的例题。。这题做法与那道题基本相同。
先来看一下最普通的做法：（以下均设 n≤m ）
∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)
=∑i=1n∑j=1mij(i,j)
=∑g=1n1g∑i=1⌊ng⌋∑i=1⌊mg⌋ij∑dμ(d)[d|i][d|j]
(枚举gcd)
=∑g=1n1g∑d=1⌊ng⌋μ(d)(gd)2⌊ndg⌋⌊mdg⌋
=∑i=1n⌊ni⌋⌊mi⌋i2∑d|iμ(d)id
(将g,d卷积)
=∑i=1n⌊ni⌋⌊mi⌋i∑d|iμ(d)d
注意到 f(n)=n∑d|nμ(d)d 显然是一个积性函数，考虑n= ∏ki=1paii ，则 f(n)=n∏ki=1(1−pi) .所以就可以很容易的线筛出来了。然后记一下f(n)的前缀和，便可以分块统计了。所以对于bzoj2693（bzoj2154的多组询问版）便可以做到 O(n+Tn√)
但是对于单组询问，既然后面的那个显然是积性函数，而且我们只要它的前缀和，那它是否应该可以杜教筛出来呢？
我一开始是想对这玩意儿直接做积性前缀和和普通前缀和。。然后我发现完全做不了。但是正如tangjz给的那个例题一样，应该先将式子化简。
∑i=1ni∑d|iμ(d)d
=∑i=1n∑d|iμ(d)d2id
=∑i=1ni∑j=1⌊ni⌋μ(d)d2
所以问题就变成了求
f(n)=μ(n)n2 的前缀和，这时我们再用杜教筛，将它与f(n)=n^2卷积。
∑i=1n∑d|iμ(d)d2(id)2
=∑i=1ni2∑d|iμ(d)
=1
=∑i=1ni2∑j=1⌊ni⌋μ(d)d2
这样就可以杜教筛了！
但是还有一个问题，我们求出了 ∑ni=1μ(i)i2 ，可我们要求 ∑ni=1i∑⌊ni⌋j=1μ(j)j2 ，所以我们还需要预处理出 n23 的这玩意儿，然后就可以在 O(n23) 的时间复杂度搞出来了。
普通版：
#include杜教版：
#include0];++j)F[i]=(F[i]-j*j*F[i*j])%Mod;
for(;j<=x;j=r+1){
r=x/(x/j);
F[i]=(F[i]-(cal(r)-cal(j-1))%Mod*inis[x/j])%Mod;
}
}
//for(int i=1;i0];++i)cout<<"F("<"/"<"="<")="<int N,M;
LL query(int x){
if(x==0)return 0;
//printf("----query(%d)-----\n",x);
int o,k,i,j,n;
if(N/(N/x)==x){
o=0;
k=N/x;
}
else{
o=1;
k=M/x;
}
LL ans=0;
//cout<" "<if(x>S){
for(i=1;i*k0];i=j+1){
j=x/(x/i);
ans=(ans+((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*F[o][i*k])%Mod;
//cout<<"Get("<"):"<<((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*F[o][i*k]%Mod<"");
for(;i<=x;i=j+1){
j=x/(x/i);
ans=(ans+((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*inis[x/i])%Mod;
//cout<<"Get("<"):"<<((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*inis[x/i]%Mod<else
for(i=1;i<=x;i=j+1){
j=x/(x/i);
ans=(ans+((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*inis[x/i])%Mod;
}
//cout<<"ans="<return ans;
}
int main(){
int i,j;
inis[1]=sg[1]=1;
for(i=2;i<=50000;++i){
if(!p[i]){
prime[++prime[0]]=i;
inis[i]=-(LL)i*i%Mod;
sg[i]=1-i;
}
for(j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=50000;++j){
p[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]){
inis[i*prime[j]]=inis[i]*inis[prime[j]]%Mod;
sg[i*prime[j]]=sg[i]*(1-prime[j]);
}
else{
sg[i*prime[j]]=sg[i];
break;
}
}
}
//for(i=1;i<=20;++i)printf("%d:%I64d %I64d\n",i,inis[i],sg[i]*i);
for(i=2;i<=50000;++i){
inis[i]=(inis[i]+inis[i-1])%Mod;
sg[i]=(sg[i-1]+sg[i]*i)%Mod;
}
//for(i=1;i<=105;++i)printf("%d:%I64d\n",i,sg[i]);
scanf("%d%d",&N,&M);
if(N>M)swap(N,M);
work(N,F[0]),work(M,F[1]);
LL ans=0;
if(Sfor(i=1,j=min(N/(N/i),M/(M/i));j<=S;i=j+1,j=min(N/(N/i),M/(M/i))){
ans=(ans+(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1))%Mod;
//cout<<"Get("<")="<<(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1)%Mod<for(;i<=N;i=j+1){
j=min(N/(N/i),M/(M/i));
ans=(ans+(query(j)-query(i-1))%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1))%Mod;
//cout<<"Get("<")="<<(query(j)-query(i-1))%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1)%Mod<else
for(i=1;i<=N;i=j+1){
j=min(N/(N/i),M/(M/i));
ans=(ans+(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1))%Mod;
//cout<<"Get("<")="<<(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1)<*pow(4,Mod-2)%Mod+Mod)%Mod<