[bzoj2154]crash的数字表格 解题报告

借这题理解了tangjz的例题。。这题做法与那道题基本相同。
先来看一下最普通的做法:(以下均设 nm

i=1nj=1mlcm(i,j)
=i=1nj=1mij(i,j)
=g=1n1gi=1ngi=1mgijdμ(d)[d|i][d|j]
(枚举gcd)
=g=1n1gd=1ngμ(d)(gd)2ndgmdg
=i=1nnimii2d|iμ(d)id
(将g,d卷积)
=i=1nnimiid|iμ(d)d

注意到 f(n)=nd|nμ(d)d 显然是一个积性函数,考虑n= ki=1paii ,则 f(n)=nki=1(1pi) .所以就可以很容易的线筛出来了。然后记一下f(n)的前缀和,便可以分块统计了。所以对于bzoj2693(bzoj2154的多组询问版)便可以做到 O(n+Tn)
但是对于单组询问,既然后面的那个显然是积性函数,而且我们只要它的前缀和,那它是否应该可以杜教筛出来呢?
我一开始是想对这玩意儿直接做积性前缀和和普通前缀和。。然后我发现完全做不了。但是正如tangjz给的那个例题一样,应该先将式子化简。
i=1nid|iμ(d)d
=i=1nd|iμ(d)d2id
=i=1nij=1niμ(d)d2
所以问题就变成了求 f(n)=μ(n)n2 的前缀和,这时我们再用杜教筛,将它与f(n)=n^2卷积。
i=1nd|iμ(d)d2(id)2
=i=1ni2d|iμ(d)
=1
=i=1ni2j=1niμ(d)d2

这样就可以杜教筛了!
但是还有一个问题,我们求出了 ni=1μ(i)i2 ,可我们要求 ni=1inij=1μ(j)j2 ,所以我们还需要预处理出 n23 的这玩意儿,然后就可以在 O(n23) 的时间复杂度搞出来了。
普通版:

#include
#include
using namespace std;
#define Mod 20101009
typedef long long LL;
LL pow(int a,int x){
    LL ans=1,prod=a;
    for(;x;x>>=1,prod=prod*prod%Mod)
        if(x&1)
            ans=ans*prod%Mod;
    return ans;
}
LL sf[10000005];
int prime[1000005];
bool p[10000005];
int main(){
    int i,j;
    sf[1]=1;
    for(i=2;i<=10000000;++i){
        if(!p[i])sf[i]=1-(prime[++prime[0]]=i);
        for(j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=10000000;++j){
            p[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])sf[i*prime[j]]=sf[i]*(1-prime[j]);
            else{
                sf[i*prime[j]]=sf[i];
                break;
            }
        }
    }
    //for(i=1;i<=20;++i)printf("%d:%I64d\n",i,sf[i]);
    for(i=1;i<=10000000;++i)sf[i]=(sf[i-1]+sf[i]*i)%Mod;
    int N,M,ans;
    scanf("%d%d",&N,&M);
    if(N>M)swap(N,M);
    ans=0;
    for(i=1;i<=N;){
        j=i;
        i=min(N/(N/i),M/(M/i))+1;
        ans=(ans+(sf[i-1]-sf[j-1])*(N/j)%Mod*(N/j+1)%Mod*(M/j)%Mod*(M/j+1))%Mod;
    }
    cout<<(ans*pow(4,Mod-2)%Mod+Mod)%Mod;
}

杜教版:

#include
#include
using namespace std;
#include
#include
const int S=50000;
#define Mod 20101009
#define Mod6 120606054
bool p[50005];
int prime[10005];
typedef long long LL;
LL F[2][205],inis[50005],sg[50005];
LL pow(int a,int x){
    LL ans=1,prod=a;
    for(;x;x>>=1,prod=prod*prod%Mod)
        if(x&1)
            ans=ans*prod%Mod;
    return ans;
}
LL cal(int x){
    return (LL)x*(x<<1|1)%Mod6*(x+1)%Mod6/6;
}
void work(int N,LL F[]){
    F[0]=1;
    while(N/F[0]>S)++F[0];
    ++F[0];
    for(int i=F[0],j,x,r;--i;){
        x=N/i;
        F[i]=1;
        for(j=2;i*j0];++j)F[i]=(F[i]-j*j*F[i*j])%Mod;
        for(;j<=x;j=r+1){
            r=x/(x/j);
            F[i]=(F[i]-(cal(r)-cal(j-1))%Mod*inis[x/j])%Mod;
        }
    }
    //for(int i=1;i0];++i)cout<<"F("<"/"<"="<")="<int N,M;
LL query(int x){
    if(x==0)return 0;
    //printf("----query(%d)-----\n",x);
    int o,k,i,j,n;
    if(N/(N/x)==x){
        o=0;
        k=N/x;
    }
    else{
        o=1;
        k=M/x;
    }
    LL ans=0;
    //cout<" "<if(x>S){
        for(i=1;i*k0];i=j+1){
            j=x/(x/i);
            ans=(ans+((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*F[o][i*k])%Mod;
            //cout<<"Get("<"):"<<((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*F[o][i*k]%Mod<"");
        for(;i<=x;i=j+1){
            j=x/(x/i);
            ans=(ans+((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*inis[x/i])%Mod;
            //cout<<"Get("<"):"<<((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*inis[x/i]%Mod<else
        for(i=1;i<=x;i=j+1){
            j=x/(x/i);
            ans=(ans+((LL)(i+j)*(j-i+1)>>1)%Mod*inis[x/i])%Mod;
        }
    //cout<<"ans="<return ans;
}
int main(){
    int i,j;
    inis[1]=sg[1]=1;
    for(i=2;i<=50000;++i){
        if(!p[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            inis[i]=-(LL)i*i%Mod;
            sg[i]=1-i;
        }
        for(j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=50000;++j){
            p[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]){
                inis[i*prime[j]]=inis[i]*inis[prime[j]]%Mod;
                sg[i*prime[j]]=sg[i]*(1-prime[j]);
            }
            else{
                sg[i*prime[j]]=sg[i];
                break;
            }
        }
    }
    //for(i=1;i<=20;++i)printf("%d:%I64d %I64d\n",i,inis[i],sg[i]*i);
    for(i=2;i<=50000;++i){
        inis[i]=(inis[i]+inis[i-1])%Mod;
        sg[i]=(sg[i-1]+sg[i]*i)%Mod;
    }
    //for(i=1;i<=105;++i)printf("%d:%I64d\n",i,sg[i]);
    scanf("%d%d",&N,&M);
    if(N>M)swap(N,M);
    work(N,F[0]),work(M,F[1]);
    LL ans=0;
    if(Sfor(i=1,j=min(N/(N/i),M/(M/i));j<=S;i=j+1,j=min(N/(N/i),M/(M/i))){
            ans=(ans+(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1))%Mod;
            //cout<<"Get("<")="<<(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1)%Mod<for(;i<=N;i=j+1){
            j=min(N/(N/i),M/(M/i));
            ans=(ans+(query(j)-query(i-1))%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1))%Mod;
            //cout<<"Get("<")="<<(query(j)-query(i-1))%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1)%Mod<else
        for(i=1;i<=N;i=j+1){
            j=min(N/(N/i),M/(M/i));
            ans=(ans+(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1))%Mod;
            //cout<<"Get("<")="<<(sg[j]-sg[i-1])%Mod*(N/i)%Mod*(N/i+1)%Mod*(M/i)%Mod*(M/i+1)<*pow(4,Mod-2)%Mod+Mod)%Mod<

你可能感兴趣的:(数论)