湖南2015省队集训(bzoj4174)tty的求助

文章来自我的新博客

题外话:

     当时我们老师要我们三个人出一套题目给 noi 集训,然后我们当时就吓尿了!!!各种担心出的题目太水被秒。。。。。然而事实上效果还不错,只有 yyt 一位爷 A 掉了,悲伤的是 mx longlong 了。。。。。
     距离这道题目出现已经很久了,正好刚刚搭的新博客,所以就来水一发题解。
    
    
    

description:

     计算 Nn=1Mm=1m1k=0nk+xm 998244353 取模的答案。

    
    
    

solution

     首先考虑 m1k=0nk+xm

     m1k=0nk+xm=m1k=0(nknk%mm+nk%m+xm)=m1k=0nkmm1k=0nk%mm+m1k=0nk%m+xm

     gcd(n,m)=d 不难发现, nk%m 取了 d 遍数列 0,d,2d,3d,4d......md

     所以有: m1k=0nk+xm=m1k=0nkmm1k=0nk%mm+m1k=0nk%m+xm

     =n(m1)2dmd1k=0kdm+dmd1k=0kd+xm=n(m1)2(md)2+dmd1k=0kmd+xm

     根据具体数学上的黑科技: m1k=0x+km=mx

     所以有: m1k=0nk+xm=n(m1)2md2+dxd=(nmnm+1+d+2dxd2

     之后就是经典的容斥问题了,首先我们枚举 d

     所以 ans=Nn=1Mm=1nmnm+d+2dxd2

                  =min(N,M)d=1min(Nd,Md)k=1μ(k)(abdxd+ab(a+1)(b+1)D24a(a+1)bD2b(b+1)aD2)

     其中 a=Nkd,b=Mkd,D=kd
    
    
    

code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const long long Mod=998244353;
long long mu[500010]={0};
int hash[500010]={0};
int prime[500010]={0};
int ptot=0;
long long N,M;
double x;

long long power(long long a,long long k)
{
    long long o=1;
    for(;k>0;)
    {
        if(k&1)
            o=o*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        k>>=1;
    }
    return o;
}

void Pre_()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(hash[i]==0)
        {
            prime[++ptot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;prime[j]*i<=N && j<=ptot;j++)
        {
            hash[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    cin>>N>>M>>x;
    if(N>M) swap(N,M);
    Pre_();
    long long inv=power(2,Mod-2);
    long long ans=0;
    for(long long d=1;d<=N;d++)
    {
        for(long long k=N/d;k>=1;k--)
        {
            long long a=N/d/k,b=M/d/k,D=k*d;
            ans=(ans+mu[k]*((a*(a+1)/2*D%Mod*(b*(b+1)/2*D%Mod)%Mod-a*(a+1)/2*D%Mod*b%Mod-b*(b+1)/2*D%Mod*a%Mod+(((d*((int)(x/d)))<<1)*a*b%Mod+d*a*b%Mod))+(Mod<<1)))%Mod;
        }
    }
    cout<return 0;
}

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