泛函分析 01.07 距离空间-习题课

§1.6距离空间习题课 

1.在R上定义d(x,y)=arctan|x−y|,问(R,d)是不是距离空间? 
分析:要说明(R,d)是不是距离空间,需说明d(x,y)是 
否满足距离空间定义1.1.1中的条件(1)−(4) 
前三条(非负、严格正、对称)显然成立.只需证明(4)(三角不等式)成立. 
证明:(1),(2),(3)显然成立.下面证明(4)成立. 
即证明对∀x,y,z∈R,有 
arctan|x−y|≤arctan|x−z|+arctan|z−y|(0.0.1) 
易知:arctan|x−y|∈[0,π2 ), 
arctan|x−z|+arctan|z−y|∈[0,π) 
下面我们分两种情形进行讨论: 
(1)arctan|x−z|+arctan|z−y|≥π2 时,(0.0.1)式成立; 
(2)arctan|x−z|+arctan|z−y|<π2 时,对(0.0.1)式右边取正切,可得 
tan{arctan|x−z|+arctan|z−y|} 
=|x−z|+|z−y|1−|x−z||z−y| ≥|x−z|+|z−y| 
≥|x−y|=tan{arctan|x−y|} 
(注意1>1−|x−z||z−y|>0) 
由正切函数的单增性可知 
arctan|x−y|≤arctan|x−z|+arctan|z−y|, 
即三角不等式成立. 
注 
一般地,对于∀x,y∈R,它们之间的距离为|x−y|, 
实数空间在这个距离下是无界的. 
本题在实数空间R中定义了一个新的距离 
d(x,y)=arctan|x−y| 
把实数空间R中一个无界的集合转变成了有界的集合. 
无界与有界是相对的概念,和空间定义的距离有关. 

2.在n维欧几里得空间R n 中,对于 
x=(x 1 ,x 2 ,⋯,x n ),y=(y 1 ,y 2 ,⋯,y n ) 
定义 
d(x,y)=∑ i=1 n λ i |x i −y i |(0.0.2) 
其中λ 1 ,⋯,λ n 是n个正数, 
证明d是R n 中的距离,并且按距离收敛等价于按坐标收敛. 
分析: 
(1)要说明d是R n 中的距离,需证明d满足距离定义1.1.1中的条件(1)−(4). 
(2)按距离收敛等价于按坐标收敛,即 
d(x k ,x)→0(k→∞) 
其中x k =(x (k) 1 ,x (k) 2 ,⋯,x (k) n )∈R n ,x=(x 1 ,x 2 ,⋯,x n )∈R n , 
⇔x (k) i →x i (k→∞),i=1,2,⋯,n. 
证明:(1)由定义(0.0.2),距离需满足的条件(1)−(3)显然成立.下面验证(4)成立. 
对∀x,y,z∈R n , 
d(x,y)=∑ i=1 n λ i |x i −y i |=∑ i=1 n λ i |x i −z i +z i −y i | 
≤∑ i=1 n λ i (|x i −z i |+|z i −y i |) 
=∑ i=1 n λ i |x i −z i |+∑ i=1 n λ i |z i −y i | 
=d(x,z)+d(z,y) 
故d是R n 上的距离. 
(2){x k }在R n 中按距离收敛于x,即 
d(x k ,x)→0(k→∞) 
对∀ε>0,∃K(ε)∈Z + ,使得当k>K(ε)时有 
d(x k ,x)=∑ i=1 n λ i |x (k) i −x i |<λε 
其中λ=min{λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n }>0 
从而对每一个i,有 
λ i |x (k) i −x i |≤∑ i=1 n λ i |x (k) i −x i |<λε, 
即 
|x (k) i −x i |<ε,i=1,2,⋯,n 
这表明{x k }在R n 中按坐标收敛于x. 
反之,设{x k }在R n 中按坐标收敛于x,则对于每一个i, 
对∀ε>0,∃K i ∈Z + ,使得当k>K i 时 
|x (k) i −x i |<εnλ , 
其中λ=max{λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n }>0. 
令K=max{K 1 ,K 2 ,⋯,K n }, 
当k>K时,对每个i有 
|x (k) i −x i |<εnλ . 
于是 
∑ i=1 n λ i |x (k) i −x i |<λ 1 +λ 2 +⋯+λ n nλ ε<ε. 
故d(x k ,x)→0(k→∞),即{x k }在R n 中按距离收敛于x. 
注:当λ i =1,i=1,2,⋯,n时,距离(0.0.2)成为范数 
∥⋅∥ 1 (见第二章(2.4.4)式)产生的距离. 
特别地在R 2 中,如果λ 1 =λ 2 =1,距离(0.0.2)成为距离(1.2.4). 
虽然在这两个距离空间中,收敛都是按坐标收敛,但是每个坐标收敛的速度由其 
权函数λ i 的不同而不同.对比距离(0.0.2)和距离(1.2.4)中的单位圆. 

3.设X是一个距离空,A⊂X,x∈X,称 
d(x,A)=inf{d(x,ω)|ω∈A}(0.0.3) 
为点x到集合A的距离.证明 
A ¯ ¯ ¯  ={x|d(x,A)=0}, 
且A ¯ ¯ ¯  是包含A的最小闭集. 
分析：本题中用到的概念： 
下确界的定义， 
闭包的定义1.3.10: 
A的接触点的全体成为A的闭包,记为A ¯ ¯ ¯  . 
接触点的定义1.3.4：x∈X,如果对于∀ε>0, 
B(x,ε)∩A≠∅,(0.0.4) 
则称x为A的接触点. 
闭集的等价性定理1.3.12. 
证明：令B={x|d(x,A)=0},先证明B⊂A ¯ ¯ ¯   
若x 0 ∈B,即 
d(x 0 ,A)=inf{d(x 0 ,ω)|ω∈A}=0, 
由下确界的定义,对∀ε>0,∃ω∈A,使得: 
d(x 0 ,ω)<ε, 
即B(x 0 ,ε)∩A≠∅⟹x 0 ∈A ¯ ¯ ¯  . 
反之，若x 0 ∈A ¯ ¯ ¯  ,即x 0 是A的接触点, 
由定义1.3.4,对于∀ε>0, 
B(x 0 ,ε)∩A≠∅, 
即存在ω∈A,使得: 
d(x 0 ,ω)<ε⟹inf{d(x 0 ,ω)|ω∈A}≤ε, 
由于ε是任意的,我们有 
inf{d(x 0 ,ω)|ω∈A}=0, 
即x 0 ∈B={x|d(x,A)=0}. 
综上可得, 
A ¯ ¯ ¯  ={x|d(x,A)=0}, 
下面证明A ¯ ¯ ¯  是包含A的最小闭集. 
设M为包含A的任意闭集,A⊆M. 
对于∀x∈A ¯ ¯ ¯  ,存在{x n }⊆A⊆M使得 
lim n→∞ d(x,x n )=0 
由M闭知x∈M,因此A ¯ ¯ ¯  ⊆M 
这表明了A ¯ ¯ ¯  是包含A的最小闭集. 
注：这个命题从直观上刻画了A的闭包A ¯ ¯ ¯  的几何特征, 
A ¯ ¯ ¯  包含了到A的距离等于零的所有点. 

4.设X按照距离d为距离空间,A⊂X非空.令 
f(x)=inf y∈A d(x,y)(∀x∈X) 
证明：f(x)是X上的连续函数. 
分析:这里f(x)是定义在X上非负的实值函数. 
由定义1.2.7,需证明对∀x 0 ∈X,对∀ε>0,存在 
δ>0,当d(x,x 0 )<δ时有 
d 1 (f(x),f(x 0 ))=|f(x)−f(x 0 )|<ε 
证明中要用到距离定义中的三角不等式. 
证明:任取x,x 0 ∈x,则由 
d(x,y)≤d(x,x 0 )+d(x 0 ,y) 
可得 
inf y∈A d(x,y)≤d(x,x 0 )+inf y∈A d(x 0 ,y)(1) 
同理可得 
inf y∈A d(x 0 ,y)≤d(x,x 0 )+inf y∈A d(x,y)(2) 
由(1),(2)立即得 
|f(x)−f(x 0 )|≤d(x,x 0 ), 
即对∀x 0 ∈X,对∀ε>0,存在δ=ε>0,当d(x,x 0 )<δ时,有 
|f(x)−f(x 0 )|≤d(x,x 0 )<δ=ε 
故f(x)为连续函数. 

5.证明集合M={sinnx|n=1,2,⋯}在空间 
C[0,π]中是有界集,但不是列紧集. 
分析:由定理1.3.27可知: 
C[0,π]中的子集M是列紧的当且仅当M中的函数 
是一致有界和等度连续的. 
显然集合M是一致有界的, 
要证明M不是列紧集,需证明M不是等度连续的. 
等度连续：对于任意的ε>0,存在δ>0,当|t 1 −t 2 |<δ时, 
|sinn⋅t 2 −sinn⋅t 1 |<ε(∀n∈Z + )(0.0.5) 
非等度连续：∃ε>0,对∀δ>0,∃t 1 ,t 2 ∈[0,π],以 
及n 0 ∈Z + ,虽然|t 1 −t 2 |<δ,但是 
|sinn 0 ⋅t 2 −sinn 0 ⋅t 1 |≥ε(0.0.6) 
注意n 0 ,t 1 ,t 2 的选取与δ有关. 
证明:取ε 0 =1,对∀δ>0, 
取n 0 =[2δ ]+1,t 1 =0,t 2 =π2n 0  ∈[0,π],那么 
|t 1 −t 2 |=π2n 0  ≤πδ4 <δ, 
而|sinn 0 ⋅t 2 −sinn 0 ⋅t 1 |=sinπ2 =1=ε 0  
由此可知,M={sinnx|n=1,2,⋯}非等度连续. 
即M={sinnx|n=1,2,⋯}不是C[0,π]的列紧集. 

6.设D是[0,1]区间上具有连续导数的实函数全体.在D上定义 
d(x,y)=max 0≤t≤1 |x(t)−y(t)|+max 0≤t≤1 |x ′ (t)−y ′ (t)| 
(1)证明D是距离空间; 
(2)指出D中点列按照距离收敛的意义; 
(3)证明D是完备的. 
注：空间D是C[0,1]空间的一个真子空间,但是在其上定义的距离不同. 
(1)要证明D是距离空间,只要证明在D中所定义的距离 
d满足距离定义1.1.1的4条即可. 
证明：距离定义的(1),(2),(3)条显然成立,只要验证(4)三角不等式成立, 
设x,y,z∈D.则∀t∈[0,1],有 
|x(t)−y(t)|≤|x(t)−z(t)|+|z(t)−y(t)|, 
|x ′ (t)−y ′ (t)|≤|x ′ (t)−z ′ (t)|+|z ′ (t)−y ′ (t)|, 
二式对t∈[0,1]取最大值并相加得: 
d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) 
即D是一个距离空间. 
(2)D中的点列{x n }收敛于x的充要条件是{x n (t)}在[0,1] 
上一致收敛于x(t)且{x ′