2020年牛客第10场B-KMP Algorithm

题意：定义两个相同长度为$n$的字符串$s,t$,$mis(s,t)=\sum _{i=1}^{i=n}(s[i[!=t[i])$
定义字符串$s$,若$s$满足$mis(s[1]...s[n-d],s[d+1]...s[n])\le d$
则该字符串为 nearly d-periodic，给你一个长度为$n$的字符串$s$和长度为$m$的字符串$t$，保证两个字符串都是 nearly d-periodic，求对任意$i\in [1,n-m+1]$,$mis(s[i]...s[i+m-1],t[1]..t[m])$.

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题解：
对于$i$，我们可以把求不同转成总数减去相同的。
现在求相同：以下下标均从0开始。$\ast$为卷积,$\cdot$为乘
分别对不同字符求贡献。
下面仅对一种字符$st$展开讨论（其他都是一样的）
令$f[j]=(s[j]==st)$;
令$g[j]=(t[j]==st)$;
那么对于$i$，$st$产生的贡献便是
$\sum _{k=0}^{k=m-1}f[i+k]\cdot g[k]$;
因为对于同个位置，只有$s$和$t$都是$st$才能产生贡献。
这样好像看不出什么东西。
但如果把$t$字符串翻转一下，那么$g$数组同样也会翻转，即
$g[j]=g[m-1-j]$
那么贡献就变成
$\sum _{k=0}^{k=m-1}f[i+k]\cdot g[m-1-k]$
看着像啥？多项式相乘啊！
$i+k+m-1-k=m-1+i$相对于特定的$i$是一个定值
也就是说你做一下卷积后，$(f\ast g)(m-1+i)$就是$st$的贡献了
大概你会马上想到什么$FFT,NTT$啥的搞一下，但是这些都是$nlogn$的复杂度，而字符范围有26，$n是1e6$,复杂度会变成$O(26nlogn)$是肯定不能接受的
但是还有一个条件没有用，$s,t$都是 nearly d-periodic ,
也就是说（$\sum _{i=-\infty }^{+\infty }(f[i]-f[i+d]))\le d$
那么我们便可以定义：
$Df[i]=f[i]-f[i+d]$
$Dg[i]=g[i]-g[i+d]$
而且保证了$Df[i]和Dg[i]的非零系数只有O(d)项$,而$d$很小
将下标扩展到整数范围。
则$(Df\ast Dg)i=\sum _{u+v=i}Df[u]\cdot Dg[v]$
接下来推公式
$(Df\ast Dg)i$
$=\sum _{u+v=i}(f[u]-f[u+d])(g[v]-g[v+d])$
$=\sum _{u+v=i}(f[u]\cdot g[v]-f[u+d]\cdot g[v]-f[u]\cdot g[v+d]+f[u+d]\cdot g[v+d]$
$=\sum _{u+v=i}f[u]\cdot g[v]-\sum _{x+y=i+d}2\cdot f[x]\cdot g[y]+\sum _{x+y=i+2d}f[x]\cdot g[y]$
$=(f\ast g)i-2\cdot (g\ast f)(i+d)+(g\ast f)(i+2d)$

也就是说$(f\ast g)i=(Df\ast Dg)i+2(f\ast g)(i+d)-(f\ast g)(i+2d)$
那么对于字符$st$的贡献便是$(f\ast g)(m-1+i)$
对26个字符求一下和就是最终相同位置的数量$same$,然后$m-same$就是答案了
如果你觉得还不错，点个赞再走呗，如果还有疑问（纠正），请指出。
代码(基本跟标程没啥区别，毕竟看着它理解的）：

#include
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define endl '\n'
const int MX=2e6+7;
using namespace std;
vector>v1[30],v2[30];//v1[i]存在字符i的f值，如f[v[i][0].first]=v[i][0].secon,v2存g的;
char s[MX],t[MX];
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  int d;
  cin>>d;
  cin>>s>>t;
  int n=strlen(s),m=strlen(t);
  reverse(t,t+m);//令g[m-1-j]=g[j];
  //对于f[i]-f[i+d]=0部分，和g[i]-g[i+d]=0部分是无用的，对答案没有贡献,所以整个整数范围可能产生非零的只有[-d,n-1]（对于f）和[-d,m-1]（对于g）                       ）
  for(int i=0;icnt(n+m,0);
  //求Df*Dg
    for(int i=0;i<26;i++)
      for(auto f:v1[i])
          for(auto g:v2[i])
              if(f.fi+g.fi>=m-1) cnt[f.fi+g.fi]+=f.se*g.se;
//
  vectorsame(n+m+2*d,0);
  //从Df*Dg得到f*g
    for(int i=n+m-2;i>=m-1;i--)same[i]=cnt[i]+2*same[i+d]-same[i+2*d];
  
  for(int i=0;i<=n-m;i++)cout<