中国剩余定理

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中国剩余定理

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

1.找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2.用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。

3.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3∗k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。
有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得n1+n2的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？
这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c，则有(a+k∗b)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。
　
以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1.为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2.为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3.为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1.n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2.n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3.n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍数模3下的逆元，再用逆元去乘余数。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么(a∗k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=k∗c(k>0),也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为k∗c。展开式中已证明。

最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c，则有(a−k∗b)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

这样一来就得到了中国剩余定理的公式：
假设整数m1,m2,…,mn两两互素，则对于任意的整数a1,a2,…an，方程组

都存在整数解，且若

都满足该方程组，则必有

，其中

。

具体而言,

。

代码

//中国剩余定理模板
typedef long long ll;
ll china(ll a[],ll b[],int n)//a[]为除数，b[]为余数
{
     
    ll M=1,y,x=0;
    for(int i=0;i<n;++i)  //算出它们累乘的结果
        M*=a[i];
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
     
        ll w=M/a[i];
        ll tx=0;
        int t=exgcd(w,a[i],tx,y);  //计算逆元
        x=(x+w*(b[i]/t)*x)%M; 
    }
    return (x+M)%M;
}