T162491 [Round 1]整除(同余方程&exgcd)

T162491 [Round 1]整除(同余方程&exgcd)

$solve:$

$\{\begin{array}{l}x=10m+n(1)\\ y=am+bn(2)\end{array}$，考虑得到$x,y$的关系。

$(1)$式同乘$b$，消掉$bn$。

$\to y=bx+m(a-10b)$

又因为$p|y\to p|x$

可推出$a\equiv 10b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
题目要求出最小的$a>0$。

考虑转化该式子：$10b+px=a$关于$b,x$的方程。

由裴蜀定理可知，$gcd(10,p)|a$，则$a$的最小值是$gcd(10,p)$。

求出$a$，后等式两边同除$a$，推出$tmp\times b+p^{\prime }\times x=1$。

利用扩展欧几里得可得出$b,x$的值。