CG005计算机图形学几何变换

几何变换(geometric transformation) :应用于对象几何描述并改变它的位置 方向或者大小的操作称之为几何变换，有时又称为几何变换。

平移 旋转 缩放 及基本的几何变换

二维变换

二维平移

$$
\begin{gather} P=
\begin{Bmatrix} x \ y \end{Bmatrix},
P'=\begin{Bmatrix} x' \ y' \end{Bmatrix},
T=\begin{Bmatrix} t_x \ t_y \end{Bmatrix}
\end{gather}
$$

矩阵表示的二维平移方程：

P' = P + T

二维旋转

坐标采用极坐标方式更易于理解：

$$
\begin{gather} P=
\begin{Bmatrix} r sinφ \ r cos φ \end{Bmatrix},
R=\begin{Bmatrix} cos θ & -sin θ \ sin θ & cos θ\end{Bmatrix}
\end{gather}
$$
P‘ = R P

二维缩放

二维缩放方程可以表达为：
$$
\begin{gather}
\begin{Bmatrix} x’ \ y‘ \end{Bmatrix}=
\begin{Bmatrix} s_x & 0 \0 & s_y \end{Bmatrix}
\begin{Bmatrix} x \ y \end{Bmatrix}
\end{gather}
$$
或

​ P' = S P

其中S 是等式中的 2 × 2 缩放矩阵

三维的在二维的基础上引申即可。

点和向量的区别

点是三维空间中的某个坐标，是绝对的，它的值是参照原点的，而向量用于表示力和速度等具有方向和大小的量，
通常用具有长度和方向的线段来表示，虽然他们都具有三个分量，但对于向量，如果将向量放在坐标系中的任何位置（平移），都不会改变其性质，因为向量表示的是方向和大小，与位置距离无关，它的值是相对与基准点的。下图是三维顶点和向量的数学符号或称为列矩阵。

齐次坐标

​ 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。 显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点。 比如齐次坐标[hx,hy,h] 表示的是 [x,y]. (h !=0)

​ 通过引入齐次坐标，可以将 图形的移动 旋转 缩放，都转化为矩阵的乘法。

1.png

不支持，latex 所以上面显示看起来有点麻烦～～～